Каково приближенное значение числа 53,(47)… с избытком и с недостатком, округленное до ближайшей сотой?

Хорошо, чтобы найти приближенное значение числа \(53,(47)\) с избытком и с недостатком, округленное до ближайшей сотой, давайте сначала разберем, что значит "с избытком" и "с недостатком".

Когда говорят о числе "с избытком", это значит, что данное число является округлением исходного числа в большую сторону. Например, если число округлено в большую сторону до ближайшей сотой, то оно будет иметь значение, большее или равное исходному числу.

С другой стороны, "с недостатком" означает, что данное число является округлением исходного числа в меньшую сторону. При округлении до ближайшей сотой число будет иметь значение, меньшее или равное исходному числу.

Теперь давайте решим задачу. Чтобы облегчить вычисления, представим число \(53,(47)\) как бесконечную десятичную дробь:
\[53,(47) = 53 + \frac{47}{100} + \frac{47}{10000} + \frac{47}{1000000} + \ldots\]

Мы можем обозначить это число как \(x\):
\[x = 53 + \frac{47}{100} + \frac{47}{10000} + \frac{47}{1000000} + \ldots\]

Теперь будем вычитать последний член этого числа, чтобы получить приближенное значение "с недостатком". Вычитаем \(\frac{47}{10000}\), так как это первый член после десятых:
\[x - \frac{47}{10000} = 53 + \frac{47}{100} + \frac{47}{1000000} + \ldots\]

Теперь приближенное значение числа "с недостатком" будет:
\[53,(47)_{\text{недост.}} \approx x - \frac{47}{10000}\]

Аналогично, чтобы получить приближенное значение числа "с избытком", мы суммируем первый член после десятых:
\[x + \frac{47}{10000} = 53 + \frac{47}{100} + \frac{47}{1000000} + \ldots\]

Таким образом, приближенное значение числа "с избытком" будет:
\[53,(47)_{\text{изб.}} \approx x + \frac{47}{10000}\]

Теперь нам нужно найти значение \(x\). Чтобы это сделать, умножим оба выражения для \(x\) на \(\frac{10000}{9999}\) (это соответствует умножению и делению на 1):
\[x \cdot \frac{10000}{9999} = 53 + \frac{47}{100} + \frac{47}{10000} + \frac{47}{1000000} + \ldots\]

\[x \cdot \frac{10000}{9999} = 53 + \frac{47}{100} \cdot \left(1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + \ldots\right)\]

Мы используем геометрическую прогрессию, где первый член \(\frac{1}{100}\) и знаменатель \(\frac{1}{100}\), чтобы найти сумму бесконечного ряда. Зная формулу для суммы геометрической прогрессии:
\[S = \frac{a}{1-r}\]
где \(S\) - сумма ряда, \(a\) - первый член ряда и \(r\) - знаменатель, мы можем вычислить значение в скобках:
\[x \cdot \frac{10000}{9999} = 53 + \frac{47}{100} \cdot \left(\frac{1}{1 - \frac{1}{100}}\right)\]

\[x \cdot \frac{10000}{9999} = 53 + \frac{47}{100} \cdot \left(\frac{1}{\frac{99}{100}}\right)\]

Выполняя простые алгебраические операции, мы получаем:
\[x \cdot \frac{10000}{9999} = 53 + \frac{47}{100} \cdot \frac{100}{99}\]

\[x \cdot \frac{10000}{9999} = 53 + \frac{47}{99}\]

Теперь разделим обе части на \(\frac{10000}{9999}\), чтобы найти значение \(x\):
\[x = \frac{53 + \frac{47}{99}}{\frac{10000}{9999}}\]

Вычисляя эту дробь с десятичными местами, мы получаем:
\[x \approx 53,(474747)\]

Теперь, чтобы найти приближенные значения "с недостатком" и "с избытком", округлим это число до ближайшей сотой.

Сначала округлим "с недостатком". Чтобы округлить число до ближайшей сотой с недостатком, мы опускаем все десятичные цифры после сотых:
\[53,(474747)_{\text{недост.}} \approx 53,47\]

Затем округлим "с избытком". Чтобы округлить число до ближайшей сотой с избытком, мы увеличиваем все десятичные цифры после сотых на единицу:
\[53,(474747)_{\text{изб.}} \approx 53,48\]

Итак, приближенное значение числа \(53,(47)\) с избытком округленное до ближайшей сотой равно 53,48, а с недостатком равно 53,47.

Надеюсь, это объяснение помогло вам разобраться с тем, как найти приближенное значение числа с избытком и с недостатком и округлить его до ближайшей сотой. Я готов помочь!