Каков знаменатель геометрической прогрессии, если все ее члены являются положительными числами, а третий член равен

Хорошо, давайте решим эту задачу. Мы знаем, что все члены геометрической прогрессии являются положительными числами.
Пусть знаменатель геометрической прогрессии будет обозначен как \(q\).
Третий член геометрической прогрессии можно выразить следующим образом:
\[a_3 = a_1 \cdot q^2,\]
где \(a_3\) - третий член, \(a_1\) - первый член.

Из условия задачи мы знаем, что третий член равен 3:
\[3 = a_1 \cdot q^2. \quad (1)\]

Также известно, что седьмой член равен 243:
\[a_7 = a_1 \cdot q^6.\]
Подставим значение седьмого члена в уравнение:
\[243 = a_1 \cdot q^6. \quad (2)\]

Итак, у нас есть два уравнения (1) и (2), которые включают первый член \(a_1\) и знаменатель \(q\). Наша задача - найти \(q\).

Давайте воспользуемся выражением (1) и разделим его на выражение (2), чтобы избавиться от \(a_1\):
\[\frac{3}{243} = \frac{a_1 \cdot q^2}{a_1 \cdot q^6}.\]

Упростим числитель и знаменатель:
\[\frac{1}{81} = \frac{1}{q^4}.\]

Возведем обе части уравнения в -4 степень:
\[\left(\frac{1}{81}\right)^{-4} = \left(\frac{1}{q^4}\right)^{-4}.\]

Это даст нам:
\[81^4 = q^4.\]

Возведем обе части уравнения в \(\frac{1}{4}\) степень, чтобы найти значение \(q\):
\[\sqrt[4]{81^4} = \sqrt[4]{q^4}.\]

Так как \(q\) - положительное число, мы можем убрать корень:
\[81 = q.\]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен 81.

Надеюсь, это решение было понятным и подробным для вас. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!