Как можно изобразить на графике функцию y=x^2-x-12/x-4?

Чтобы нарисовать график функции \(y = \frac{{x^2 - x - 12}}{{x - 4}}\), нам необходимо проанализировать основные элементы функции.

1. Найдем точки, где функция может иметь вертикальные асимптоты. Выразим \(x\) в знаменателе уравнения \(x - 4 = 0\) и найдем его значение:
\(x - 4 = 0\)
\(x = 4\)

Таким образом, у функции есть вертикальная асимптота при \(x = 4\).

2. Найдем точку, где функция может иметь горизонтальную асимптоту. Для этого проанализируем поведение функции при достаточно больших и маленьких значениях \(x\). Выразим \(y\) при \(x\) стремящемся к бесконечности:

\(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - x - 12}}{{x - 4}}\)

Применим правило Лопиталя, взяв производную от числителя и знаменателя по отдельности:

\(\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x - 1}}{{1}} = \infty\)

Это означает, что у функции нет горизонтальной асимптоты.

3. Найдем точку пересечения функции с осью \(y\). Для этого подставим \(x = 0\) в уравнение:

\(y = \frac{{0^2 - 0 - 12}}{{0 - 4}} = \frac{{-12}}{{-4}} = 3\)

Таким образом, функция пересекает ось \(y\) в точке \((0, 3)\).

4. Теперь найдем точки пересечения функции с осью \(x\). Для этого приравняем \(y\) к нулю и решим уравнение:

\(0 = \frac{{x^2 - x - 12}}{{x - 4}}\)

Заметим, что мы не можем просто умножить обе стороны на \(x - 4\), так как это приведет к делению на ноль. Вместо этого разделим уравнение на две части:

\(x^2 - x - 12 = 0\) и \(x - 4 \neq 0\)

Факторизуем первое уравнение:

\((x - 4)(x + 3) = 0\)

Применяем нулевое свойство произведения и находим значения \(x\):

Если \(x - 4 = 0\), то \(x = 4\)

Если \(x + 3 = 0\), то \(x = -3\)

Таким образом, функция пересекает ось \(x\) в точках \((-3, 0)\) и \((4, 0)\).

Теперь у нас есть основные точки, которые помогут нам нарисовать график функции \(y = \frac{{x^2 - x - 12}}{{x - 4}}\). Нарисуем координатную плоскость и обозначим найденные точки.

\[
\begin{align*}
\mathrm{Точка\ пересечения\ оси\ } x: (-3, 0) \quad \quad &\mathrm{Точка\ пересечения\ оси\ } y: (0, 3) \\
\mathrm{Вертикальная\ асимптота:\ } x = 4 \quad \quad &\mathrm{} \\
\end{align*}
\]

Построим асимптоту \(x = 4\) - это вертикальная линия, параллельная оси \(y\) и проходящая через \(x = 4\). Затем нарисуем график функции, учитывая основные точки, которые мы нашли. Когда \(x\) приближается к 4 справа или слева, значения функции становятся очень большими, поэтому график будет стремиться к вертикальной асимптоте, но никогда ее не пересекает.

(Поместить график функции \(y = \frac{{x^2 - x - 12}}{{x - 4}}\) на графическое поле)

Теперь у нас есть график функции \(y = \frac{{x^2 - x - 12}}{{x - 4}}\), который проходит через заданные точки и имеет вертикальную асимптоту \(x = 4\). Надеюсь, это помогло тебе лучше визуализировать функцию. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать!