Каково отношение потока вектора напряжённости электрического поля, проходящего через поверхность куба, к потоку через

Чтобы решить данную задачу и вычислить отношение потока вектора напряжённости электрического поля через поверхности куба и сферы, нам понадобятся некоторые известные формулы.

По теореме Гаусса, поток напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, разделённому на диэлектрическую постоянную электрической среды. Формула для вычисления потока напряжённости электрического поля имеет вид:

\[\Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon}\]

где \(\Phi\) - поток, \(\vec{E}\) - напряжённость электрического поля, \(Q\) - заряд внутри поверхности, \(d\vec{S}\) - элемент площадки поверхности, а \(\varepsilon\) - диэлектрическая постоянная.

1. Поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность куба:
Для куба с ребром \(a\) и зарядом \(Q\) в центре поток можно вычислить следующим образом:
Так как у нас равномерное объемное распределение заряда, то заряд равен \(Q = \rho V\), где \(\rho\) - плотность заряда, а \(V\) - объем куба. В данном случае, объем куба равен \(V = a^3\).
Также, у нас есть 6 поверхностей куба, каждая из которых имеет площадь \(S = a^2\).
Таким образом, поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность куба может быть вычислен по формуле:

\(\Phi_{\text{к}} = 6 \times \frac{Q}{\varepsilon} = 6 \times \frac{\rho V}{\varepsilon} = 6 \times \frac{\rho a^3}{\varepsilon}\)

2. Поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность сферы:
Для сферы радиусом \(R\) и зарядом \(Q\) внутри, поток можно вычислить следующим образом:
Также как и в предыдущем случае, заряд равен \(Q = \rho V\), где \(\rho\) - плотность заряда, а \(V\) - объем сферы. В данном случае, объем сферы равен \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\).
Площадь поверхности сферы может быть найдена по формуле \(S = 4 \pi R^2\).
Таким образом, поток вектора напряжённости электрического поля через поверхность сферы может быть вычислен по формуле:

\(\Phi_{\text{с}} = \frac{Q}{\varepsilon} = \frac{\rho V}{\varepsilon} = \frac{\rho (\frac{4}{3} \pi R^3)}{\varepsilon}\)

3. Отношение потока через поверхность куба к потоку через поверхность сферы:
Чтобы найти отношение потока через поверхность куба к потоку через поверхность сферы, нам нужно поделить поток через поверхность куба на поток через поверхность сферы:

\(\frac{\Phi_{\text{к}}}{\Phi_{\text{с}}} = \frac{6 \times \frac{\rho a^3}{\varepsilon}}{\frac{\rho (\frac{4}{3} \pi R^3)}{\varepsilon}} = \frac{6 a^3}{\frac{4}{3} \pi R^3}\)

Таким образом, отношение потока вектора напряжённости электрического поля, проходящего через поверхность куба, к потоку через поверхность сферы в области с равномерным объёмным распределением заряда будет \(\frac{6 a^3}{\frac{4}{3} \pi R^3}\).