Каково отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AKB, где точки E и F лежат на сторонах BC

Для того чтобы найти отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AKB, необходимо определить соотношение длин сторон этих фигур.

Дано, что точки E и F лежат на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD соответственно, и что BE:EC=DF:FC=1:3.

Мы можем использовать соотношение длин сторон, чтобы определить отношение площадей этих фигур.

Для начала, давайте изобразим данную ситуацию:

\[ABCD\] - параллелограмм

Точки E и F лежат на сторонах BC и CD соответственно:

\[BE:EC = 1:3\]
\[DF:FC = 1:3\]

Теперь, давайте расставим метки на рисунке для большей ясности:

\[A------K-------B\]
\[|\------|------|\]
\[|-\_\_\_E\_\_\_|-|\]
\[|---\_\_|\_\_\_---|\]
\[C-------F-----D\]

Мы можем обозначить длины сторон следующим образом:

\[BE = x\]
\[EC = 3x\]
\[DF = y\]
\[FC = 3y\]

Теперь мы можем определить отношение площадей фигур CEKF и AKB.

Площадь четырёхугольника CEKF равна сумме площадей треугольников CEF и EKF.

\[S_{CEKF} = S_{CEF} + S_{EKF}\]

Площадь треугольника CEF можно найти, используя формулу площади треугольника:

\[S_{CEF} = \frac{1}{2} \times CE \times CF\]

Подставив значения CE и CF, получим:

\[S_{CEF} = \frac{1}{2} \times 3x \times 3y = \frac{9}{2}xy\]

Теперь найдем площадь треугольника EKF:

\[S_{EKF} = \frac{1}{2} \times EK \times FK\]

Заметим, что стороны EK и FK равны, так как они являются диагоналями параллелограмма.

Площадь треугольника EKF можно записать как:

\[S_{EKF} = \frac{1}{2} \times EK \times FK = \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2}xy\]

Теперь сложим площади треугольников CEF и EKF, чтобы получить площадь четырёхугольника CEKF:

\[S_{CEKF} = S_{CEF} + S_{EKF} = \frac{9}{2}xy + \frac{1}{2}xy = \frac{10}{2}xy = 5xy\]

Теперь давайте найдем площадь треугольника AKB.

\[S_{AKB} = \frac{1}{2} \times AK \times BK\]

Заметим, что стороны AK и BK также равны, так как они являются диагоналями параллелограмма ABCD.

Площадь треугольника AKB записывается как:

\[S_{AKB} = \frac{1}{2} \times AK \times BK = \frac{1}{2} \times x \times 3y = \frac{3}{2}xy\]

Теперь у нас есть отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AKB:

\[\frac{S_{CEKF}}{S_{AKB}} = \frac{5xy}{\frac{3}{2}xy} = \frac{5}{\frac{3}{2}} = \frac{10}{3}\]

Ответ: Отношение площади четырёхугольника CEKF к площади треугольника AKB равно \(\frac{10}{3}\).