Каково отношение площадей сегментов, отсекаемых хордой окружности под углом 60 градусов?

Если угол между хордой и радиусом, проведенным к концу хорды, составляет 60 градусов, то отношение площадей сегментов, отсекаемых хордой, будет 1:2.

Для доказательства этого факта рассмотрим следующую схему:

\[
\begin{array}{c|cccccc}
&\\
&\hspace{11mm} & & \text{{\small{OO"}}} & & & \\
&\hspace{11mm} & & \uparrow & & &\\
&\hspace{11mm} & & \text{{\small{A}}}& & \text{{\small{B}}}& \\
&\hspace{11mm} &\, \nwarrow & & \nearrow & &\hspace{11mm} \\
&\hspace{11mm} & & \text{{\small{C}}}& & \text{{\small{D}}}& \\
&\hspace{11mm} & & \Downarrow & & &\\
&\hspace{11mm} & & \text{{\small{O}}}& & & \\
&\\
\end{array}
\]

Где:
\(OO"\) - радиус окружности,
\(AB\) - хорда,
\(O\) - центр окружности,
\(OC\) и \(OD\) - отрезки, которые отсекаются хордой,
\(AC\) и \(BD\) - сегменты, отсекаемые хордой.

Для начала, рассмотрим треугольники \(OAC\) и \(OBD\). Они равнобедренные, поскольку каждый из них имеет вертикальный угол при вершине (\(\angle{O}\)), а также равными углами при основании (\(\angle{AOC}=\angle{BOD}=60°\)). Таким образом, треугольники \(OAC\) и \(OBD\) подобны, и их стороны пропорциональны.

Теперь рассмотрим круговой пояс, состоящий из дуг \(AC\) и \(BD\) и отрезка \(CD\). Дуги \(AC\) и \(BD\) лежат на одной окружности и оба отрезка \(AC\) и \(BD\) равны радиусу.

Следовательно, площадь кругового пояса, образованного сегментами \(AC\) и \(BD\), будет пропорциональна отрезку \(CD\), также известному как \(\Delta{OCD}\).

Так как треугольники \(OAC\) и \(OBD\) подобны, соотношение их сторон будет равно соотношению площадей сегментов \(AC\) и \(BD\):

\[
\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{\text{{площадь сегмента }} AC}}{{\text{{площадь сегмента }} BD}}
\]

Таким образом, отношение площадей сегментов будет равно \(\frac{{AC}}{{BD}}\).

Но так как треугольники \(OAC\) и \(OBD\) равнобедренные, сторона \(AC\) в 2 раза больше стороны \(BD\):

\[
\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{2}{1} = 2
\]

Следовательно, отношение площадей сегментов, отсекаемых хордой под углом 60°, будет 1:2.

Надеюсь, что это решение понятно и поможет вам понять материал. Если у вас есть какие-то дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!