Каково уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, если даны координаты его вершин: M(-3;0) N(1;3) K(5;0)?

Чтобы найти уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, нужно использовать свойство, что центр окружности около треугольника совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

1. Найдем середину каждой стороны треугольника MNK:
- Для стороны MN: $x_{\text{MN}}=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1$ и $y_{\text{MN}}=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$
- Для стороны NK: $x_{\text{NK}}=\frac{x_N+x_K}{2}=\frac{1+5}{2}=3$ и $y_{\text{NK}}=\frac{y_N+y_K}{2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$
- Для стороны KM: $x_{\text{KM}}=\frac{x_K+x_M}{2}=\frac{5+(-3)}{2}=1$ и $y_{\text{KM}}=\frac{y_K+y_M}{2}=\frac{0+0}{2}=0$

2. По найденным серединам сторон треугольника, можем найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и точку $N$.
Уравнение прямой можно найти, используя формулу: $y-y_N=\frac{y_{\text{NK}}-y_N}{x_{\text{NK}}-x_N}\cdot (x-x_N)$
Подставляем значения: $y-3=\frac{\frac{3}{2}-3}{3-1}\cdot (x-1)$.
Упрощаем: $y-3=\frac{-\frac{3}{2}}{2}\cdot (x-1)$.
Далее получаем: $y-3=-\frac{3}{4}\cdot (x-1)$.

3. Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности и точку $M$. Аналогично предыдущему шагу, уравнение будет выглядеть:
$y-0=\frac{\frac{3}{2}-0}{-1-(-3)}\cdot (x-(-3))$.
Упрощаем: $y=\frac{\frac{3}{2}}{2}\cdot (x+3)$.
Далее получаем: $y=\frac{3}{4}\cdot (x+3)$.

4. Чтобы найти точку пересечения двух прямых, решаем систему уравнений:
$\{\begin{array}{l}y-3=-\frac{3}{4}\cdot (x-1)\\ y=\frac{3}{4}\cdot (x+3)\end{array}$

Решим эту систему:
Раскрываем скобки: $y-3=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\text{(1)}$ и $y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}\text{(2)}$.
Подставляем значение $y$ из уравнения (2) в уравнение (1): $\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$.
Упрощаем и решаем уравнение: $\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x=-\frac{3}{4}-\frac{9}{4}+3$.
После упрощения получаем: $-\frac{12}{4}=-\frac{8}{4}$.
Такое равенство верно для любого $x$.

Получили, что $x$ не имеет значения, и следовательно $y$ тоже не имеет значения. Нашли, что точки пересечения прямых находятся в бесконечности.

5. Центр окружности может иметь любые координаты, поскольку мы находимся в случае, когда точки пересечения находятся в бесконечности. Школьник, которому предлагается эта задача, может ответить, что уравнение окружности будет иметь выражение $x^2+y^2=r^2$, где $r$ - радиус окружности.

Таким образом, уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, не имеет конкретного вида и может быть записано как $x^2+y^2=r^2$, где $r$ - радиус окружности.