Каково уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, если даны координаты его вершин: M(-3;0) N(1;3) K(5;0)?

Чтобы найти уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, нужно использовать свойство, что центр окружности около треугольника совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

1. Найдем середину каждой стороны треугольника MNK:
- Для стороны MN: \(x_{\text{MN}} = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1\) и \(y_{\text{MN}} = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}\)
- Для стороны NK: \(x_{\text{NK}} = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\) и \(y_{\text{NK}} = \frac{y_N + y_K}{2} = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}\)
- Для стороны KM: \(x_{\text{KM}} = \frac{x_K + x_M}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = 1\) и \(y_{\text{KM}} = \frac{y_K + y_M}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0\)

2. По найденным серединам сторон треугольника, можем найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности и точку \(N\).
Уравнение прямой можно найти, используя формулу: \(y - y_N = \frac{y_{\text{NK}} - y_N}{x_{\text{NK}} - x_N} \cdot (x - x_N)\)
Подставляем значения: \(y - 3 = \frac{\frac{3}{2} - 3}{3 - 1} \cdot (x - 1)\).
Упрощаем: \(y - 3 = \frac{-\frac{3}{2}}{2} \cdot (x - 1)\).
Далее получаем: \(y - 3 = -\frac{3}{4} \cdot (x - 1)\).

3. Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через центр окружности и точку \(M\). Аналогично предыдущему шагу, уравнение будет выглядеть:
\(y - 0 = \frac{\frac{3}{2} - 0}{-1 - (-3)} \cdot (x - (-3))\).
Упрощаем: \(y = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot (x + 3)\).
Далее получаем: \(y = \frac{3}{4} \cdot (x + 3)\).

4. Чтобы найти точку пересечения двух прямых, решаем систему уравнений:
\(\begin{cases} y - 3 = -\frac{3}{4} \cdot (x - 1) \\ y = \frac{3}{4} \cdot (x + 3) \end{cases}\)

Решим эту систему:
Раскрываем скобки: \(y - 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \quad \text{(1)}\) и \(y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{4} \quad \text{(2)}\).
Подставляем значение \(y\) из уравнения (2) в уравнение (1): \(\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} - 3 = -\frac{3}{4}x + \frac{3}{4}\).
Упрощаем и решаем уравнение: \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{4}x = -\frac{3}{4} - \frac{9}{4} + 3\).
После упрощения получаем: \(-\frac{12}{4} = -\frac{8}{4}\).
Такое равенство верно для любого \(x\).

Получили, что \(x\) не имеет значения, и следовательно \(y\) тоже не имеет значения. Нашли, что точки пересечения прямых находятся в бесконечности.

5. Центр окружности может иметь любые координаты, поскольку мы находимся в случае, когда точки пересечения находятся в бесконечности. Школьник, которому предлагается эта задача, может ответить, что уравнение окружности будет иметь выражение \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

Таким образом, уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, не имеет конкретного вида и может быть записано как \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r\) - радиус окружности.