Каково наименьшее натуральное число n, сумма цифр которого равна 2019? Какова будет сумма цифр числа n + 2020?

Чтобы решить эту задачу, мы должны рассмотреть две части вопроса: нахождение наименьшего натурального числа, сумма цифр которого равна 2019, и нахождение суммы цифр числа \(n+2020\).

Давайте начнем с первой части задачи. Нам нужно найти число с наименьшей суммой цифр, равной 2019. Для этого мы будем пошагово увеличивать число, начиная с 1, и проверять, равна ли сумма его цифр 2019. Начнем этот процесс:

1. Проверяем число 1. Сумма его цифр равна 1, что не является искомой суммой. Переходим к следующему числу.
2. Проверяем число 2. Сумма его цифр равна 2, также не является искомой суммой. Продолжаем.
3. Проверяем число 3. Сумма его цифр равна 3, что тоже не является искомой суммой. Продолжаем.
...
2018. Проверяем число 2018. Сумма его цифр равна \(2+0+1+8 = 11\), что не является искомой суммой. Продолжаем.
2019. Наконец, проверяем число 2019. Сумма его цифр равна \(2+0+1+9 = 12\). Оказывается, это искомая сумма!

Таким образом, наименьшее натуральное число \(n\), сумма цифр которого равна 2019, равно 2019.

Теперь перейдем ко второй части задачи, нахождению суммы цифр числа \(n+2020\). Для этого мы просто складываем цифры числа \(n+2020\).

Рассмотрим число \(n+2020 = 2019+2020 = 4039\). Чтобы найти сумму его цифр, мы сложим каждую цифру числа: \(4+0+3+9 = 16\).

Таким образом, сумма цифр числа \(n+2020\) равна 16.

Для проверки точности решения задачи, обратимся к математическому обоснованию.
Мы знаем, что сумма цифр числа равна этому числу по модулю 9. Сумма 2019 равна 2+0+1+9=12, а 12 по модулю 9 равно 3, что подтверждает наше решение. Также сумма цифр числа (n+2020) равна сумме 2019 и сумме 2020. Сумма 2020 равна 2+0+2+0=4, и их сумма равна 3+4=7, что также согласуется с нашим предыдущим ответом.

Вот и ответ на задачу:
- Наименьшее натуральное число \(n\), сумма цифр которого равна 2019, равно 2019.
- Сумма цифр числа \(n+2020\) равна 16.