Докажите, что среди натуральных чисел x, y, z, для которых выражения x + y, y + z и x + z являются простыми числами

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо рассмотреть все возможные варианты троек натуральных чисел $x$, $y$, и $z$, для которых суммы чисел $x+y$, $y+z$ и $x+z$ являются простыми числами.

Давайте начнем с предположения, что все три числа $x$, $y$ и $z$ различны. В таком случае, сумма любых двух чисел также должна быть различна. Предположим, что $x+y$ является простым числом. Тогда, чтобы $y+z$ тоже было простым числом, число $z$ должно быть четным, иначе $y+z$ будет четным и делится на 2. Аналогично, чтобы $x+z$ было простым числом, число $x$ также должно быть четным. Итак, у нас уже есть два условия: $x$, $y$ и $z$ должны быть различными, и все три числа должны быть четными.

Теперь рассмотрим случай, когда два из трех чисел $x$, $y$ и $z$ равны друг другу. Предположим, что $x=y$. В таком случае, сумма $x+y$ будет числом вида $2x$, которое делится на 2. Это означает, что $x+y$ не может быть простым числом, поскольку оно делится на 2. Аналогично, предположим, что $y=z$. Тогда сумма $y+z$ будет числом вида $2y$, это также делится на 2, и значит, не может быть простым числом. Наконец, предположим, что $x=z$. Тогда сумма $x+z$ будет числом вида $2x$, которое вновь делится на 2 и не может быть простым числом.

Таким образом, мы приходим к выводу, что если все три числа $x$, $y$ и $z$ различны, то суммы $x+y$, $y+z$ и $x+z$ не могут быть простыми числами. Исходя из этого мы можем утверждать, что среди натуральных чисел $x$, $y$ и $z$, для которых суммы $x+y$, $y+z$ и $x+z$ являются простыми числами, есть как минимум два равных числа.

Доказательство завершено.