Докажите, что среди натуральных чисел x, y, z, для которых выражения x + y, y + z и x + z являются простыми числами

Для доказательства данного утверждения, нам необходимо рассмотреть все возможные варианты троек натуральных чисел \(x\), \(y\), и \(z\), для которых суммы чисел \(x+y\), \(y+z\) и \(x+z\) являются простыми числами.

Давайте начнем с предположения, что все три числа \(x\), \(y\) и \(z\) различны. В таком случае, сумма любых двух чисел также должна быть различна. Предположим, что \(x+y\) является простым числом. Тогда, чтобы \(y+z\) тоже было простым числом, число \(z\) должно быть четным, иначе \(y+z\) будет четным и делится на 2. Аналогично, чтобы \(x+z\) было простым числом, число \(x\) также должно быть четным. Итак, у нас уже есть два условия: \(x\), \(y\) и \(z\) должны быть различными, и все три числа должны быть четными.

Теперь рассмотрим случай, когда два из трех чисел \(x\), \(y\) и \(z\) равны друг другу. Предположим, что \(x=y\). В таком случае, сумма \(x+y\) будет числом вида \(2x\), которое делится на 2. Это означает, что \(x+y\) не может быть простым числом, поскольку оно делится на 2. Аналогично, предположим, что \(y=z\). Тогда сумма \(y+z\) будет числом вида \(2y\), это также делится на 2, и значит, не может быть простым числом. Наконец, предположим, что \(x=z\). Тогда сумма \(x+z\) будет числом вида \(2x\), которое вновь делится на 2 и не может быть простым числом.

Таким образом, мы приходим к выводу, что если все три числа \(x\), \(y\) и \(z\) различны, то суммы \(x+y\), \(y+z\) и \(x+z\) не могут быть простыми числами. Исходя из этого мы можем утверждать, что среди натуральных чисел \(x\), \(y\) и \(z\), для которых суммы \(x+y\), \(y+z\) и \(x+z\) являются простыми числами, есть как минимум два равных числа.

Доказательство завершено.