Каково количество возможных способов разместить 30 человек по 10 в каждом из первых трех вагонов?

Данная задача связана с комбинаторикой и конкретно с принципом произведения. Чтобы рассчитать количество возможных способов разместить 30 человек по 10 вагонам, используем следующий подход:

Шаг 1: Размещение людей в каждом вагоне.
Так как в каждом вагоне может разместиться 10 человек, нам нужно определить, сколько способов разместить 10 человек среди 30 доступных. Для этого применим биномиальный коэффициент, который позволяет рассчитать количество комбинаций.

Формула биномиального коэффициента:
\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]
где \(n\) - количество элементов для выбора, \(k\) - количество элементов в комбинации, а \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Для данной задачи, мы рассчитываем биномиальный коэффициент \(C(30, 10)\):

\[
C(30, 10) = \frac{{30!}}{{10!(30-10)!}}
\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[
C(30, 10) = 30,045
\]

Таким образом, есть 30 045 способов разместить 30 человек по 10 вагонам.

Шаг 2: Размещение вагонов.
Мы должны разместить 10 человек в каждом из трех вагонов. Количество способов размещения вагонов можно рассчитать по формуле комбинаторики:

\[
P(r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}
\]

где \(r\) - количество элементов для размещения, \(n\) - общее количество элементов, а \(n!\) - факториал числа \(n\).

Для данной задачи, мы рассчитываем количество способов разместить 3 вагона:

\[
P(3) = \frac{{3!}}{{(3-3)!}} = 3! = 6
\]

Таким образом, есть 6 способов разместить вагоны.

Шаг 3: Рассчитываем общее количество способов.
Для получения итогового количества возможных способов разместить 30 человек по 10 в каждом из первых трех вагонов, мы умножаем количество способов размещения людей в вагонах на количество способов размещения вагонов:

Итоговое количество способов = количество способов размещения людей в вагонах \(\times\) количество способов размещения вагонов

Итоговое количество способов = 30 045 \(\times\) 6 = 180 270

Таким образом, общее количество возможных способов разместить 30 человек по 10 в каждом из первых трех вагонов равно 180 270.