Каково количество возможных способов разместить 30 человек по 10 в каждом из первых трех вагонов?

Данная задача связана с комбинаторикой и конкретно с принципом произведения. Чтобы рассчитать количество возможных способов разместить 30 человек по 10 вагонам, используем следующий подход:

Шаг 1: Размещение людей в каждом вагоне.
Так как в каждом вагоне может разместиться 10 человек, нам нужно определить, сколько способов разместить 10 человек среди 30 доступных. Для этого применим биномиальный коэффициент, который позволяет рассчитать количество комбинаций.

Формула биномиального коэффициента:
$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
где $n$ - количество элементов для выбора, $k$ - количество элементов в комбинации, а $n!$ обозначает факториал числа $n$.

Для данной задачи, мы рассчитываем биномиальный коэффициент $C(30,10)$:

$$C(30,10)=\frac{30!}{10!(30-10)!}$$

Выполнив вычисления, получаем:

$$C(30,10)=30,045$$

Таким образом, есть 30 045 способов разместить 30 человек по 10 вагонам.

Шаг 2: Размещение вагонов.
Мы должны разместить 10 человек в каждом из трех вагонов. Количество способов размещения вагонов можно рассчитать по формуле комбинаторики:

$$P(r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

где $r$ - количество элементов для размещения, $n$ - общее количество элементов, а $n!$ - факториал числа $n$.

Для данной задачи, мы рассчитываем количество способов разместить 3 вагона:

$$P(3)=\frac{3!}{(3-3)!}=3!=6$$

Таким образом, есть 6 способов разместить вагоны.

Шаг 3: Рассчитываем общее количество способов.
Для получения итогового количества возможных способов разместить 30 человек по 10 в каждом из первых трех вагонов, мы умножаем количество способов размещения людей в вагонах на количество способов размещения вагонов:

Итоговое количество способов = количество способов размещения людей в вагонах $\times$ количество способов размещения вагонов

Итоговое количество способов = 30 045 $\times$ 6 = 180 270

Таким образом, общее количество возможных способов разместить 30 человек по 10 в каждом из первых трех вагонов равно 180 270.