1. Які з наведених послідовностей є арифметичними прогресіями? А) 3;6;12;24; Б) 7;10;12;13; В) -10;0;10;-10

Давайте розглянемо кожне питання по черзі.

1. Для визначення, які з наведених послідовностей є арифметичними прогресіями, ми маємо перевірити, чи різниця між кожною парою сусідніх членів є однаковою в усіх послідовностях.

а) Послідовність А) 3; 6; 12; 24. Перевіримо різницю між сусідніми членами: 6 - 3 = 3, 12 - 6 = 6, 24 - 12 = 12. Оскільки різниця змінюється, послідовність А) не є арифметичною прогресією.

б) Послідовність Б) 7; 10; 12; 13. Перевіримо різницю між сусідніми членами: 10 - 7 = 3, 12 - 10 = 2, 13 - 12 = 1. Оскільки різниця не змінюється, послідовність Б) є арифметичною прогресією.

в) Послідовність В) -10; 0; 10; -10. Перевіримо різницю між сусідніми членами: 0 - (-10) = 10, 10 - 0 = 10, -10 - 10 = -20. Оскільки різниця змінюється, послідовність В) не є арифметичною прогресією.

г) Послідовність Г) 20; 17; 14; 11. Перевіримо різницю між сусідніми членами: 17 - 20 = -3, 14 - 17 = -3, 11 - 14 = -3. Оскільки різниця не змінюється, послідовність Г) є арифметичною прогресією.

Таким чином, арифметичними прогресіями є послідовності: Б) 7; 10; 12; 13 та Г) 20; 17; 14; 11.

2. Тепер перевіримо, які з наведених послідовностей є геометричними прогресіями. Для цього ми маємо перевірити, чи відношення між кожною парою сусідніх членів є однаковим у всіх послідовностях.

а) Послідовність А) 2; 4; 6; 8. Перевіримо відношення між сусідніми членами: \(\frac{4}{2} = 2\), \(\frac{6}{4} = 1.5\), \(\frac{8}{6} = 1.33\). Оскільки відношення не є однаковим, послідовність А) не є геометричною прогресією.

б) Послідовність Б) 20; 10; 5; 2; 5. Перевіримо відношення між сусідніми членами: \(\frac{10}{20} = 0.5\), \(\frac{5}{10} = 0.5\), \(\frac{2}{5} = 0.4\), \(\frac{5}{2} = 2.5\). Оскільки відношення змінюється, послідовність Б) не є геометричною прогресією.

в) Послідовність В) 13; 31; 13; 31. Перевіримо відношення між сусідніми членами: \(\frac{31}{13} = 2.38\), \(\frac{13}{31} = 0.42\), \(\frac{31}{13} = 2.38\). Оскільки відношення не є однаковим, послідовність В) не є геометричною прогресією.

г) Послідовність Г) 14; 31; 62; 124. Перевіримо відношення між сусідніми членами: \(\frac{31}{14} = 2.21\), \(\frac{62}{31} = 2\), \(\frac{124}{62} = 2\). Оскільки відношення є однаковим, послідовність Г) є геометричною прогресією.

Таким чином, геометричними прогресіями є послідовність Г) 14; 31; 62; 124.

3. Поставимо у відповідність послідовні чотири елементи геометричної прогресії зі знаменником \(q\) та арифметичної прогресії зі знаменником \(d\).

а) Для геометричної прогресії зі знаменником \(q = 3\), наші послідовні чотири елементи будуть:

\(a_1 = 3, a_2 = 3 \times q = 3 \times 3 = 9, a_3 = 9 \times q = 9 \times 3 = 27, a_4 = 27 \times q = 27 \times 3 = 81\).

Таким чином, послідовність буде: 3; 9; 27; 81.

б) Для геометричної прогресії зі знаменником \(q = \frac{1}{3}\), наші послідовні чотири елементи будуть:

\(a_1 = 3, a_2 = 3 \times q = 3 \times \frac{1}{3} = 1, a_3 = 1 \times q = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}, a_4 = \frac{1}{3} \times q = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\).

Таким чином, послідовність буде: 3; 1; \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{9}\).

в) Для геометричної прогресії зі знаменником \(d = -3\), наші послідовні чотири елементи будуть:

\(a_1 = 3, a_2 = 3 + d = 3 + (-3) = 0, a_3 = 0 + d = 0 + (-3) = -3, a_4 = -3 + d = -3 + (-3) = -6\).

Таким чином, послідовність буде: 3; 0; -3; -6.

г) Для геометричної прогресії зі знаменником \(d = 3\), наші послідовні чотири елементи будуть:

\(a_1 = -1, a_2 = -1 + d = -1 + 3 = 2, a_3 = 2 + d = 2 + 3 = 5, a_4 = 5 + d = 5 + 3 = 8\).

Таким чином, послідовність буде: -1; 2; 5; 8.

Надіюся, ці відповіді були зрозумілі та допомогли вам зрозуміти арифметичні та геометричні прогресії.