Каково количество решений у системы уравнений, если не делать вычислений? а) {2x + y = 7, б) {2y - 6x = 1, в) {2x

Давайте рассмотрим каждую систему уравнений по очереди и определим количество ее решений без проведения вычислений:

а) Система уравнений {2x + y = 7:

Данная система содержит два уравнения с двумя неизвестными (x и y). Количество решений системы можно определить, используя понятие линейной независимости уравнений. Если оба уравнения линейно независимы, то система имеет единственное решение. Если же уравнения линейно зависимы, то система имеет бесконечное количество решений.

Давайте проверим, линейно ли зависимы данные уравнения {2x + y = 7.

Преобразуем первое уравнение: y = 7 - 2x.

Получили, что y выражается через x. Это говорит о том, что первое уравнение является линейно зависимым от второго. Таким образом, система имеет бесконечное количество решений.

б) Система уравнений {2y - 6x = 1:

Преобразуем данное уравнение: y = \frac{1}{2} + 3x.

Аналогично предыдущему примеру, получили выражение для y через x. Значит, данное уравнение также является линейно зависимым от других уравнений.

Следовательно, система также имеет бесконечное количество решений.

в) Система уравнений {2x - 3y = -1, x - 2y = 3, 3x - y = 5, 9y - 6x = ...

Для данной системы уравнений составим матрицу коэффициентов и найдем ее ранг.

\[
\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
1 & -2 \\
3 & -1 \\
-6 & 9
\end{pmatrix}
\]

Применим элементарные преобразования для приведения матрицы к ступенчатому виду:

\[
\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
1 & -2 \\
3 & -1 \\
-6 & 9
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
2 & -3 \\
3 & -1 \\
-6 & 9
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1 \\
3 & -1 \\
-6 & 9
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1 \\
0 & 5 \\
-6 & 9
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1 \\
0 & 0 \\
-6 & 9
\end{pmatrix}
\]

После приведения к ступенчатому виду, видно, что у матрицы есть строки с нулевыми значениями в последних столбцах, а значит, ранг матрицы равен 2.

Поскольку количество неизвестных равно 2, а ранг матрицы меньше количества неизвестных, система не имеет решений.

Итак, ответы на задачу:

а) Система уравнений {2x + y = 7 имеет бесконечное количество решений.
б) Система уравнений {2y - 6x = 1 также имеет бесконечное количество решений.
в) Система уравнений {2x - 3y = -1, x - 2y = 3, 3x - y = 5, 9y - 6x = ... не имеет решений.