Каково количество решений системы уравнений y = x^-3 и y = 1/8x^2 в графическом виде?

Для определения количества решений системы уравнений \(y = x^{-3}\) и \(y = \frac{1}{8}x^2\) в графическом виде, мы должны изобразить графики обоих уравнений на координатной плоскости и посмотреть на их пересечение.

Давайте начнем с первого уравнения \(y = x^{-3}\). Обратим внимание, что в этом уравнении переменная \(x\) возводится в отрицательную степень, что означает, что \(x\) не может быть равным нулю. Все значения \(x\), отличные от нуля, будут давать нам соответствующие значения \(y\) в соответствии с уравнением.

Построим график этого уравнения. Для наглядности возьмем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\). Выберем, например, \(x = -2, -1, -0.5, 0.5, 1, 2\):

\[
\begin{align*}
x=-2: \quad y &= (-2)^{-3} = -\frac{1}{8} \approx -0.125 \\
x=-1: \quad y &= (-1)^{-3} = -1 \\
x=-0.5: \quad y &= (-0.5)^{-3} = -8 \\
x=0.5: \quad y &= (0.5)^{-3} = 8 \\
x=1: \quad y &= (1)^{-3} = 1 \\
x=2: \quad y &= (2)^{-3} = \frac{1}{8} \approx 0.125 \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть несколько точек, через которые мы можем провести график функции \(y = x^{-3}\).

Мы видим, что при \(x > 0\) значение \((x, y)\) лежит в первой четверти, а при \(x < 0\) значение лежит в третьей четверти. График будет иметь форму гиперболы с центром в точке \((0, 0)\) и асимптотами, проходящими через точки \((-1, -1)\) и \((1, 1)\).

Теперь перейдем ко второму уравнению \(y = \frac{1}{8}x^2\). Здесь мы имеем квадратичную функцию, график которой будет параболой. Для этой функции нет ограничений на значение \(x\).

Таким образом, мы можем рассчитать несколько значений \(y\) для различных \(x\). Опять же, выберем несколько значений \(x\): \(x = -4, -2, 0, 2, 4\):

\[
\begin{align*}
x=-4: \quad y &= \frac{1}{8}(-4)^{2} = \frac{1}{2} \\
x=-2: \quad y &= \frac{1}{8}(-2)^{2} = \frac{1}{2} \\
x=0: \quad y &= \frac{1}{8}(0)^{2} = 0 \\
x=2: \quad y &= \frac{1}{8}(2)^{2} = \frac{1}{2} \\
x=4: \quad y &= \frac{1}{8}(4)^{2} = 2 \\
\end{align*}
\]

График функции \(y = \frac{1}{8}x^2\) будет параболой с ветвями, открывающимися вверх и с вершиной в точке \((0, 0)\).

Теперь давайте нарисуем оба графика на одной координатной плоскости:

\[G1\]