Какое максимальное значение имеет функция y=12x^{2} -x^{3}+3 на интервале [-5;6]?

Для того, чтобы найти максимальное значение функции \(y = 12x^2 - x^3 + 3\) на интервале \([-5; 6]\), мы начнем с нахождения критических точек.

Чтобы найти критические точки, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную этой функции.

Первым шагом найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} ( 12x^2 - x^3 + 3 )
\]

Для нахождения производной, мы будем использовать правило дифференцирования, которое гласит, что производная степенной функции равна произведению показателя степени на коэффициент при этой степени, с последующим уменьшением показателя на единицу. Дифференцируем каждый терм независимо:

1. Производная терма \(12x^2\) равна \(2 \cdot 12x^{2-1} = 24x\).
2. Производная терма \(-x^3\) равна \(-3x^{3-1} = -3x^2\).
3. Производная терма \(3\) равна \(0\) (поскольку константа имеет производную равную нулю).

Теперь, найдя производную функции, получим:
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 24x - 3x^2
\]

Дальше, чтобы найти критические точки, равняем производную нулю и решим уравнение:
\[
24x - 3x^2 = 0
\]

Факторизуем это уравнение:
\[
x(24 - 3x) = 0
\]

Таким образом, у нас есть два решения для \(x\): \(x = 0\) и \(x = \frac{{24}}{{3}} = 8\). Теперь мы должны проверить, лежат ли эти точки в заданном интервале \([-5; 6]\).

Поскольку \(x = 8\) не принадлежит интервалу \([-5; 6]\), мы можем проигнорировать это значение и сосредоточиться только на \(x = 0\).

Теперь, чтобы найти максимальное значение функции на данном интервале, подставим \(x = 0\) в исходную функцию:
\[
y = 12(0)^2 - (0)^3 + 3 = 3
\]

Таким образом, на интервале \([-5; 6]\) функция \(y = 12x^2 - x^3 + 3\) достигает своего максимального значения, которое равно 3 при \(x = 0\).

На этом вопросе мы рассмотрели шаги для нахождения максимального значения функции и обосновали ответ. Если возникли какие-то дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь их задать!