Каково каноническое уравнение эллипса с фокусами, расположенными на оси OX симметрично относительно начала координат

Пусть фокусы \(F_1\) и \(F_2\) расположены на оси OX симметрично относительно начала координат. Пусть \(c\) - расстояние между фокусами.

Так как фокусы симметрично расположены относительно начала координат, то координаты фокусов будут иметь вид \((-c, 0)\) и \((c, 0)\).

Согласно определению эллипса, для любой точки на эллипсе, сумма расстояний от данной точки до фокусов равна величине большой полуоси \(a\). В данном случае сумма расстояний от точки на эллипсе до фокусов \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) будет равна \(a\).

Имея данное расстояние между фокусами \(c\) и величину большой полуоси \(a\), мы можем приступить к выводу канонического уравнения эллипса.

Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), мы можем записать следующее уравнение, исходя из определения эллипса:

\[\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a\]

Доска для большой полуоси \(a\) уравнения эллипса представляет собой ординатуру, а горизонтальная ось OX - абсциссу. Учитывая, что фокусы \(F_1\) и \(F_2\) лежат на оси OX, расстояние между ними будет равно \(2c\). Следовательно, \(2c = 30\).

Теперь мы можем выразить величину большой полуоси \(a\), исходя из полученного значения \(c\):

\[c = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\]

Таким образом, большая полуось \(a\) равна \(15\).

Подставляя это значение \(a\) и значение \(c\) в уравнение эллипса, мы получаем каноническое уравнение эллипса:

\[\sqrt{(x + 15)^2 + y^2} + \sqrt{(x - 15)^2 + y^2} = 30\]

Это и есть каноническое уравнение эллипса с фокусами, расположенными на оси OX симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 30, а большая полуось равна 15.