Какова зависимость изменения координаты точки, если начальная точка находилась в начале координат и скорость

Для решения данной задачи, давайте разделим ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем уравнение пути для движущейся точки. Для этого нужно проинтегрировать уравнение скорости по времени. В данном случае, у нас задано уравнение скорости: \(v(t) = t + 3t^2\). Давайте найдем уравнение пути, обозначив координату точки как \(x(t)\).

Интегрируя по времени, получим:

\[\int (t + 3t^2) dt = \frac{1}{2}t^2 + t^3 + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Шаг 2: Найдем значение постоянной \(C\), используя начальное условие, что начальная точка находится в начале координат. Координата в начальный момент времени равна 0 (потому что точка находится в начале координат), то есть \(x(0) = 0\). Подставим это значение в уравнение пути:

\[\frac{1}{2}(0)^2 + (0)^3 + C = 0\]
\[C = 0\]

Таким образом, уравнение пути принимает вид:

\[x(t) = \frac{1}{2}t^2 + t^3\]

Шаг 3: Теперь мы можем найти зависимость изменения координаты точки в зависимости от времени. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) - координаты точки в моменты времени \(t_1\) и \(t_2\) соответственно. Тогда изменение координаты будет равно:

\[\Delta x = x_2 - x_1 = (\frac{1}{2}t_2^2 + t_2^3) - (\frac{1}{2}t_1^2 + t_1^3)\]

Или, переставив слагаемые:

\[\Delta x = \frac{1}{2}(t_2^2 - t_1^2) + (t_2^3 - t_1^3)\]

Данное уравнение дает нам связь между изменением координаты точки и разностью времени.

Итак, зависимость изменения координаты точки, если начальная точка находилась в начале координат и скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону \(v(t) = t + 3t^2\), задается уравнением:

\[\Delta x = \frac{1}{2}(t_2^2 - t_1^2) + (t_2^3 - t_1^3)\]

где \(\Delta x\) - изменение координаты точки, \(t_1\) и \(t_2\) - моменты времени, \(t_2 > t_1\).