Какова вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап, если вероятность выигрыша в каждом из трех туров первого

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо вычислить вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап. Для этого мы должны вычислить вероятность пройти во второй этап и вычесть ее из 1.

Пусть вероятность выигрыша Паши в каждом из трех туров первого этапа равна $p$. Так как у нас есть три тура, то есть три возможных исхода: выигрыш во всех трех турах, выигрыш в двух турах и проигрыш в одном туре, а также проигрыш во всех трех турах.

Давайте рассмотрим каждый возможный исход по отдельности.

1. Выигрыш Паши во всех трех турах: Вероятность этого исхода равна произведению вероятностей выигрыша в каждом из туров. Так как вероятность выигрыша Паши в каждом из трех туров равна $p$, вероятность выигрыша во всех трех турах будет $p\cdot p\cdot p$, или $p^3$.
2. Выигрыш Паши в двух турах: Вероятность этого исхода равна произведению вероятности выигрыша в двух турах и вероятности проигрыша в одном туре. Так как вероятность проигрыша в каждом из туров равна $1-p$, вероятность выигрыша в двух турах будет равна $p\cdot p\cdot (1-p)$, или $p^2\cdot (1-p)$.
3. Проигрыш Паши в одном туре: Вероятность этого исхода равна произведению вероятностей проигрыша в двух турах и вероятности выигрыша в одном туре. Так как вероятность выигрыша в каждом из туров равна $p$ и вероятность проигрыша равна $1-p$, вероятность проигрыша в одном туре будет равна $(1-p)\cdot (1-p)\cdot p$, или $(1-p{)}^2\cdot p$.
4. Проигрыш Паши во всех трех турах: Вероятность этого исхода равна произведению вероятностей проигрыша в каждом из туров. Так как вероятность проигрыша в каждом из туров равна $1-p$, вероятность проигрыша во всех трех турах будет равна $(1-p)\cdot (1-p)\cdot (1-p)$, или $(1-p{)}^3$.

Итак, вероятность пройти во второй этап равна сумме вероятностей первых двух исходов:

$$p\cdot p\cdot p+p^2\cdot (1-p)$$

и вероятность не пройти во второй этап равна сумме вероятностей последних двух исходов:

$(1-p)\cdot (1-p)\cdot p+(1-p{)}^3$.

Но нам нужна именно вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап. Поэтому нам потребуется вычислить выражение:

$$1-(p\cdot p\cdot p+p^2\cdot (1-p))$$

Здесь мы вычитаем из 1 вероятность пройти во второй этап.

Полученное выражение дает нам искомую вероятность того, что Паша не пройдет во второй этап в зависимости от значения $p$.