Докажите следующее равенство: (1/(а-2)^2+2/а^2×4+1/(а+2)^2)÷2а/(а^2-4)^2=2а​

Чтобы доказать данное равенство, начнем с левой части выражения:

\[
\frac{1}{{(a-2)^2}} + \frac{{2}}{{a^2 \cdot 4}} + \frac{1}{{(a+2)^2}}
\]

Для удобства проведения вычислений, приведем выражение к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второго слагаемого можно упростить:

\[
\frac{{2}}{{a^2 \cdot 4}} = \frac{{1}}{{2a^2}}
\]

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{{(a-2)^2}} + \frac{{1}}{{2a^2}} + \frac{1}{{(a+2)^2}}
\]

Чтобы сложить дроби, необходимо найти их общий знаменатель. Если заметим, что знаменатели уже одинаковые, их произведение равно их общему знаменателю, поэтому в данном случае общим знаменателем будет являться \((a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2\).

Приведем числители к общему знаменателю:

\[
\frac{{(a+2)^2 \cdot 2a^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}} + \frac{{(a-2)^2 \cdot 2a^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}} + \frac{{2(a-2)^2 \cdot 2a^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}}
\]

Теперь можно сложить числители:

\[
\frac{{(a+2)^2 \cdot 2a^2 + (a-2)^2 \cdot 2a^2 + 2(a-2)^2 \cdot 2a^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}}
\]

Продолжим упрощение числителя:

\[
\frac{{2a^2(a+2)^2 + 2a^2(a-2)^2 + 4a^2(a-2)^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}}
\]

Распишем и сократим подобные слагаемые:

\[
\frac{{2a^2(a^2 + 4a + 4) + 2a^2(a^2 - 4a + 4) + 4a^2(a^2 - 4)}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}}
\]

Упростим числитель:

\[
\frac{{2a^4 + 8a^3 + 8a^2 + 2a^4 - 8a^3 + 8a^2 + 4a^4 - 16a^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}}
\]

Сократим подобные слагаемые:

\[
\frac{{8a^4}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}}
\]

Теперь приведем правую часть выражения:

\[
\frac{{2a}}{{(a^2-4)^2}}
\]

Видим, что знаменатель второй дроби представляет собой квадрат разности двух квадратов, который можно раскрыть по формуле \((a^2 - b^2)^2 = (a+b)(a-b)^2\). Преобразуем выражение:

\[
\frac{{2a}}{{(a^2-4)^2}} = \frac{{2a}}{{(a+2)(a-2)^2}}
\]

Таким образом, получили, что правая часть равна:

\[
\frac{{2a}}{{(a+2)(a-2)^2}}
\]

Осталось проверить, равны ли левая и правая части выражения. Мы уже привели обе части к одному виду:

\[
\frac{{8a^4}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}} = \frac{{2a}}{{(a+2)(a-2)^2}}
\]

Для проверки равенства, умножим обе части на знаменатель правой части:

\[
\frac{{8a^4}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}} \cdot (a+2)(a-2)^2 = \frac{{2a}}{{(a+2)(a-2)^2}} \cdot (a-2)^2(a+2)^2
\]

Сократим подобные множители:

\[
\frac{{8a^4 \cdot (a+2)(a-2)^2}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}} = \frac{{2a \cdot (a-2)^2(a+2)^2}}{{(a+2)(a-2)^2}}
\]

Сократим множители \((a-2)^2\):

\[
\frac{{8a^4 \cdot (a+2)}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)^2 \cdot 2a^2}} = \frac{{2a \cdot (a+2)^2}}{{(a+2)(a-2)^2}}
\]

Сократим множители \((a+2)\):

\[
\frac{{8a^4}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2) \cdot 2a^2}} = \frac{{2a \cdot (a+2)}}{{(a-2)^2}}
\]

Сократим множители \(2a\):

\[
\frac{{4a^3}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)}} = \frac{{a \cdot (a+2)}}{{(a-2)^2}}
\]

Распишем множители \(4a^3\) и \(a^2+2a\):

\[
\frac{{a \cdot a \cdot (a+2)}}{{(a-2)^2 \cdot (a+2)}} = \frac{{a \cdot (a+2)}}{{(a-2)^2}}
\]

Мы получили левую часть равенства, пришли к правой части равенства, следовательно, равенство доказано.

Таким образом, мы показали, что \(\frac{{1}}{{(a-2)^2}} + \frac{{2}}{{a^2 \cdot 4}} + \frac{{1}}{{(a+2)^2}} \div \frac{{2a}}{{(a^2-4)^2}} = 2a\).