Какова высота усеченного конуса с радиусами его оснований 6 см и 14 см, и образующей длиной

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора для треугольника, образуемого радиусом, образующей и высотой усеченного конуса.

Известно, что высота усеченного конуса является перпендикуляром к плоскости основания конуса и проходит через центры обеих оснований. Давайте обозначим высоту усеченного конуса как \(h\).

Также, нам даны радиусы оснований конуса: \(r_1 = 6 \, \text{см}\) и \(r_2 = 14 \, \text{см}\). Обозначим образующую как \(l\).

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с катетами \(r_1\), \(r_2\) и гипотенузой \(l\), сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[r_1^2 + r_2^2 = l^2\]

Давайте подставим известные значения и найдем квадрат длины образующей:

\[6^2 + 14^2 = l^2\]
\[36 + 196 = l^2\]
\[232 = l^2\]

Теперь найдем длину образующей \(l\). Из предыдущего уравнения мы знаем, что \(l^2 = 232\). Применяя квадратный корень к обеим сторонам, получим:

\[l = \sqrt{232} \approx 15.23 \, \text{см}\]

Теперь у нас есть известные значения для радиусов и длины образующей. Чтобы найти высоту, нам необходимо использовать подобие треугольников.

Давайте рассмотрим подобные треугольники, образованные высотой и образующей.

В усеченном конусе, есть два подобных треугольника. Один треугольник образуется высотой \(h\), радиусом \(r_1\) и образующей \(l\), второй треугольник образуется высотой \(h"\), радиусом \(r_2\) и образующей \(l\).

Отношение сторон подобных треугольников должно быть одинаковым. Поэтому мы можем записать следующее:

\[\frac{h}{r_1} = \frac{h"}{r_2}\]

Теперь мы можем использовать это отношение, чтобы найти \(h\). Подставим известные значения:

\[\frac{h}{6} = \frac{h"}{14}\]

Перекрестно умножим и найдем \(h\):

\[14h = 6h"\]

Теперь остается только найти \(h\) или \(h"\). Для этого мы можем выбрать любое значение. Предположим, что мы выберем \(h = 1\). Тогда:

\[14 \cdot 1 = 6h"\]
\[h" = \frac{14}{6}\]
\[h" \approx 2.33\]

Таким образом, при \(h = 1\), \(h" \approx 2.33\). Ответом на задачу будет высота усеченного конуса \(h + h"\):

\[h + h" \approx 1 + 2.33 \approx 3.33 \, \text{см}\]

Таким образом, высота усеченного конуса с радиусами его оснований 6 см и 14 см, и образующей длиной около 3.33 см.