Какова полная поверхность усеченной пирамиды, если боковая поверхность равна 36 см, а площадь одного из оснований

Для начала, давайте разберемся, что такое усеченная пирамида. Усеченная пирамида - это многогранник, который имеет два параллельных основания, называемых верхним и нижним основаниями. Боковые грани данной пирамиды являются равнобедренными трапециями, а вершины верхнего основания соединены ребрами с соответствующими точками нижнего основания.

Теперь перейдем к решению задачи. Пусть площадь меньшего основания равна \(S_1\), а площадь большего основания равна \(S_2\). Также, давайте обозначим высоту усеченной пирамиды как \(h\).

Первое условие задачи говорит, что боковая поверхность равна 36 см. Боковая поверхность усеченной пирамиды состоит из боковых поверхностей равнобедренных трапеций, то есть мы можем найти площадь одной из боковых поверхностей и затем умножить ее на количество таких поверхностей.

Площадь боковой поверхности одной равнобедренной трапеции можно вычислить по формуле:
\[S_{тр} = \frac{h \cdot (a + b)}{2},\]
где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции.

В нашем случае, все равнобедренные трапеции имеют одинаковую высоту, поэтому мы должны найти только сумму длин оснований равнобедренной трапеции. Обозначим эту сумму как \(l\).

Так как усеченная пирамида состоит из 4 равнобедренных трапеций, то площадь боковой поверхности равна:
\[36 = 4 \cdot \frac{h \cdot l}{2}.\]

Теперь рассмотрим второе условие задачи. Мы знаем, что площадь одного из оснований в 4 раза больше площади другого основания. Обозначим площадь меньшего основания как \(S_1\) и площадь большего основания как \(S_2\). Тогда выполняется соотношение:
\[S_2 = 4 \cdot S_1.\]

Далее, задача говорит, что все двугранные углы при большем основании равны 60 градусов. Будем считать, что эти углы образуют равнобедренную трапецию с основаниями \(a\) и \(b\).

Теперь нам нужно использовать геометрические свойства трапеции для дальнейшего решения, а именно формулу площади трапеции:
\[S_{тр} = \frac{(a+b) \cdot h_{тр}}{2}.\]

А так как задача говорит, что двугранные углы при большем основании равны 60 градусов, то это значит, что мы можем разбить равнобедренную трапецию на два равнобедренных треугольника и прямоугольник. Площадь этих фигур будет равна площади соответствующей трапеции.

Запишем соотношения для площадей этих фигур:
\[S_{тр} = S_1 + S_2,\]
где \(S_1\) - площадь одного из треугольников, и \(S_2\) - площадь прямоугольника.

Получаем:
\[\frac{(a+b) \cdot h_{тр}}{2} = S_1 + S_2.\]

Так как плоскость большего основания делит пирамиду на два треугольных половинки, то можно заметить, что площадь одного треугольника будет равна \(\frac{S_2}{2}\), а площадь прямоугольника будет равна \(S_1\). Тогда получаем:
\[\frac{(a+b) \cdot h_{тр}}{2} = \frac{S_2}{2} + S_1.\]

Теперь, суммируем все полученные соотношения и найденные формулы для нахождения неизвестных значений. Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases}
36 = 4 \cdot \frac{h \cdot l}{2}, \\
S_2 = 4 \cdot S_1, \\
\frac{(a+b) \cdot h_{тр}}{2} = \frac{S_2}{2} + S_1.
\end{cases}\]

Решим эту систему уравнений шаг за шагом. Начнем с первого уравнения:

\[36 = 2 \cdot 4 \cdot h \cdot l.\]
\[9 = h \cdot l.\]