Какова площадь треугольника с одной стороной длиной 12, другой стороной длиной 5√3 и углом в 120 градусов между ними?

Чтобы найти площадь треугольника, у нас есть несколько формул, но в данном случае наиболее удобной будет формула площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности. Итак, давайте рассмотрим пошаговое решение.

Шаг 1: Найдем третью сторону треугольника, используя теорему косинусов. В данном случае у нас дана одна сторона с длиной 12 и другая сторона с длиной 5√3.

Формула для нахождения третьей стороны треугольника через две известные стороны и угол между ними:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{C}\]

Где c - третья сторона треугольника, а и b - известные стороны треугольника, С - угол между ними.

Подставим значения:

\[c^2 = 12^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos{120^\circ}\]

Выразим c:

\[c = \sqrt{12^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos{120^\circ}}\]

Шаг 2: Найдем полупериметр треугольника (s), который равен половине суммы всех сторон:

\[s = \frac{a + b + c}{2}\]

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности (r):

\[r = \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}\]

Шаг 4: И, наконец, найдем площадь треугольника (S) через радиус вписанной окружности:

\[S = rs\]

Теперь давайте подставим значения и выполним вычисления:

Шаг 1:
\[c = \sqrt{12^2 + (5\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5\sqrt{3} \cdot \cos{120^\circ}}\]
\[c = \sqrt{144 + 75 - 120\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2})}\]
\[c = \sqrt{219 + 60\sqrt{3}}\]

Шаг 2:
\[s = \frac{12 + 5\sqrt{3} + \sqrt{219 + 60\sqrt{3}}}{2}\]

Шаг 3:
\[r = \frac{\sqrt{(s-12)(s-5\sqrt{3})(s-\sqrt{219 + 60\sqrt{3}})}}{s}\]

Шаг 4:
\[S = rs\]

После выполнения всех вычислений вы найдете площадь треугольника.