Какова высота правильной треугольной пирамиды, если длина стороны основания равна 24 дм и боковое ребро образует угол

Чтобы найти высоту \(h\) правильной треугольной пирамиды, нам понадобятся некоторые геометрические представления и формулы. Давайте разберемся по шагам.

1. Начнем с того, что представим себе правильную треугольную пирамиду. В этом случае, основание пирамиды будет равносторонним треугольником, а все ее боковые грани будут равнобедренными треугольниками.

2. Теперь, учитывая, что длина стороны основания равна 24 дм, мы можем найти высоту треугольника на основании, используя формулу для высоты равностороннего треугольника:

\[h_{\text{основания}} = \frac{{\sqrt{3} \times \text{сторона основания}}}{2}\]

Подставив значение длины стороны основания \(24\) в формулу, мы получаем:

\[h_{\text{основания}} = \frac{{\sqrt{3} \times 24}}{2} = \frac{{24\sqrt{3}}}{2} = 12\sqrt{3}\]

Таким образом, высота основания пирамиды составляет \(12\sqrt{3}\) дм.

3. Далее, чтобы найти высоту пирамиды, образованную боковым ребром, мы должны учесть, что боковое ребро образует угол 300 градусов с плоскостью основания. В этом случае, мы можем нарисовать поперечное сечение пирамиды и увидеть, что такое сечение будет равнобедренным треугольником с углом в 300 градусов.

4. Зная, что угол в 300 градусов является тупым углом, мы можем использовать формулу для высоты тупоугольного равнобедренного треугольника:

\[h_{\text{боковой грани}} = \frac{{\text{боковое ребро} \times \sin(180° - 300°)}}{2}\]

Подставив соответствующие значения, мы получаем:

\[h_{\text{боковой грани}} = \frac{{24 \times \sin(180° - 300°)}}{2} = \frac{{24 \times \sin(120°)}}{2}\]

5. Теперь нам нужно найти значение синуса 120 градусов. Мы знаем, что синус этого угла равен синусу его дополнения 60 градусов, который равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставив это значение, мы получаем:

\[h_{\text{боковой грани}} = \frac{{24 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}}{2} = 12\sqrt{3}\]

6. Таким образом, высота пирамиды, образованная боковым ребром, также составляет \(12\sqrt{3}\) дм.

Итак, полная высота правильной треугольной пирамиды будет равна сумме высоты основания и высоты боковой грани:

\[h = h_{\text{основания}} + h_{\text{боковой грани}} = 12\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\]

Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна \(24\sqrt{3}\) дм.