Математика | комбинаторика В графе, соединяющем пять городов А, Б, В, Г и Д, каждая вершина имеет степень 2. Какое

Для решения данной задачи воспользуемся формулой из комбинаторики. Для графа с n вершинами, каждая из которых имеет степень 2, существует (n-1)/2 различных вариантов прокладывания еще одной дороги.

Проведем доказательство данной формулы для случая с пятью городами. Поскольку каждая вершина имеет степень 2, то у каждого города должно быть две дороги, соединяющие его с другими городами.

Рассмотрим город А. Он может быть соединен с одним из оставшихся четырех городов (Б, В, Г или Д). После этого, рассмотрим город, с которым была установлена связь, например Б. Так как у Б уже есть одна дорога (с городом А), то остается выбрать только один город для прокладывания еще одной дороги.

Таким образом, для каждого города мы выбираем одну связь, и у нас остается (5-1)/2 = 2 различных варианта прокладывания дорог для каждого города.

Ответ: В данном случае существует 2 различных варианта проложения еще одной дороги.

Теперь рассмотрим вторую часть вопроса, где количество городов равно n.

По аналогии с предыдущим решением, каждая вершина графа должна иметь степень 2. Так как каждая дорога соединяет две вершины, то всего необходимо соединить n вершин.

Если провести аналогию с предыдущим решением, то можно заметить, что для проложения дополнительной дороги нужно выбрать одну из оставшихся (n-1) вершин для каждой вершины графа, соединение которой уже установлено.

Таким образом, для графа с n вершинами, каждая из которых имеет степень 2, существует (n-1)/2 различных вариантов прокладывания еще одной дороги.

Ответ в общем случае: Количество различных вариантов прокладывания еще одной дороги равно (n-1)/2.