Какова высота цилиндра H, если его осевое сечение имеет диагональ длиной 22 см и образует угол 30° с основанием?

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрию и тригонометрию.

Диагональ осевого сечения цилиндра очень важна для нахождения его высоты. Давайте обозначим диагональ как \(\overline{CD}\), где точка \(C\) - середина диаметра основания и точка \(D\) - вершина диагонали (смотри рисунок ниже).

                   D

                  /|

           \     /  |

            \  /    |

             \/     | h

            C------ B

Обратите внимание на треугольник, который образуется между серединой диаметра и вершиной диагонали (треугольник \(CBD\)). Данный треугольник является прямоугольным с углом 90° в точке \(C\).

Мы знаем, что диагональ \(CD\) имеет длину 22 см и образует угол 30° с основанием, то есть угол \(CDB\) равен 30°.

Теперь давайте воспользуемся тригонометрической функцией тангенса. Тангенс угла равен отношению противоположной стороны к прилежащей стороне, то есть:

\[
\tan(\angle CDB) = \frac{h}{\frac{1}{2}d}
\]

где \(h\) - высота цилиндра, \(d\) - длина диаметра (основания), искомый угол перпендикулярный \(CBD\) находится в прямоугольном треугольнике \(CDH\), где \(H\) - высота цилиндра.

Теперь мы можем найти значение тангенса угла \(30°\). Тангенс угла \(30°\) равен \(\sqrt{3}\).

\[
\sqrt{3} = \frac{h}{\frac{1}{2} \cdot 22}
\]

Чтобы найти \(h\), давайте умножим обе стороны уравнения на \(\frac{1}{2} \cdot 22\):

\[
\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 22 = h
\]

После упрощения:

\[
h = 11\sqrt{3}
\]

Таким образом, высота цилиндра \(H\) равна \(11\sqrt{3}\) см.