Какова высота четырехугольной пирамиды с основанием длиной 3 см и углом между боковыми гранями, равным 120°?

Хорошо, рассмотрим эту задачу step-by-step, чтобы ответ был понятен школьнику.

1. В данной задаче у нас есть четырехугольная пирамида, у которой основание имеет длину 3 см и угол между боковыми гранями равен 120°.

2. Давайте начнем с определения высоты пирамиды. Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до ее основания, измеряемое в перпендикулярном направлении.

3. Чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится использовать теорему косинусов. Теорема косинусов позволяет нам найти третью сторону треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

4. В нашем случае, мы можем рассмотреть треугольник, образованный двумя боковыми гранями пирамиды и диагональю основания. Пусть сторона треугольника, равная 3 см, будет стороной a, а сторона треугольника, которая соединяет конец стороны a с вершиной пирамиды, будет стороной b. Угол между этими сторонами - это угол, равный 120°.

5. Теперь мы можем применить теорему косинусов для треугольника со сторонами a, b и углом 120°, чтобы найти сторону b.

6. Теорема косинусов имеет следующую формулу:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\alpha)\]

где b - искомая сторона, a - сторона треугольника, известная нам, c - другая сторона треугольника, известная нам, и \(\alpha\) - угол между сторонами a и c.

7. Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов. Мы знаем, что a = 3 см, \(\alpha\) = 120° и c - это длина диагонали основания пирамиды.

8. В нашем случае, c - это диагональ равностороннего треугольника с длиной стороны 3 см. Мы можем найти длину диагонали при помощи формулы диагонали равностороннего треугольника:

\[c = a \cdot \sqrt{3}\]

9. Подставим выражение для c в формулу теоремы косинусов и найдем значение для b:

\[b^2 = (3 \cdot \sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot (3 \cdot \sqrt{3}) \cdot \cos(120°)\]

\[b^2 = 27 + 9 - 18 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(120°)\]

\[b^2 = 36 - 18 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[b^2 = 36 + 9 \cdot \sqrt{3}\]

\[b^2 = 36 + 27 \cdot \sqrt{3}\]

10. Теперь найдем квадратный корень из \(b^2\) для получения значения b:

\[b = \sqrt{36 + 27 \cdot \sqrt{3}}\]

\[b \approx 7.32\]

11. Полученное значение b - это длина стороны треугольника, образованного двумя боковыми гранями пирамиды и диагональю основания.

12. Наконец, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно найти расстояние от вершины пирамиды до основания, измеряемое перпендикулярно. Так как у нас есть равносторонний треугольник, в котором известна длина стороны треугольника, а также известна длина его высоты (то есть стороны, соединяющей вершину треугольника с серединой противоположной стороны), мы можем использовать формулу высоты равностороннего треугольника:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot b\]

13. Подставим значение b в эту формулу и рассчитаем высоту пирамиды:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 7.32\]

\[h \approx 6.34\]

Ответ: Полученная высота четырехугольной пирамиды равна примерно 6.34 см.