Какова вероятность выбрать 6 шаров из урны, содержащей 5 белых и 5 черных шаров, таким образом, чтобы количество черных

Данная задача является примером задачи комбинаторики, где нам требуется вычислить вероятность определенного события. Для начала, давайте определим общее количество способов выбора 6 шаров из урны, которая содержит 5 белых и 5 черных шаров.

Общее количество способов выбора 6 шаров из 10 (общее количество шаров в урне) можно вычислить с помощью формулы биномиального коэффициента \(C(n, k)\), где \(n\) - количество элементов, а \(k\) - количество выбираемых элементов. В данном случае у нас \(n = 10\) и \(k = 6\). Формула для вычисления биномиального коэффициента выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\]

Применим данную формулу для определения общего количества способов выбора 6 шаров из 10:

\[C(10, 6) = \frac{{10!}}{{6! \cdot (10 - 6)!}} = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}}\]

Рассчитаем факториалы:

\[10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! = 604800\]
\[6! = 6 \cdot 5 \cdot 4! = 720\]
\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]

Теперь, подставим значения факториалов в формулу биномиального коэффициента:

\[C(10, 6) = \frac{{604800}}{{720 \cdot 24}} = 210\]

Таким образом, общее количество способов выбора 6 шаров из урны равно 210.

Теперь нам нужно определить количество способов выбрать 6 шаров так, чтобы количество черных и белых шаров было одинаковым. Мы можем рассмотреть два случая:

1. Выбор 3 белых и 3 черных шаров:
Чтобы выбрать 3 белых шара из 5 белых, у нас есть \(C(5, 3)\) способов.
Аналогично, чтобы выбрать 3 черных шара из 5 черных, у нас есть \(C(5, 3)\) способов.
Общее количество способов равно произведению этих двух значений, так как выбор каждой группы шаров не зависит от выбора другой группы:
\(C(5, 3) \cdot C(5, 3)\)

2. Выбор 4 белых и 2 черных шаров:
Чтобы выбрать 4 белых шара из 5 белых, у нас есть \(C(5, 4)\) способов.
Чтобы выбрать 2 черных шара из 5 черных, у нас есть \(C(5, 2)\) способов.
Общее количество способов равно произведению этих двух значений:
\(C(5, 4) \cdot C(5, 2)\)

Теперь, объединим эти два случая и найдем их сумму, чтобы определить общее количество способов выбора 6 шаров таким образом, чтобы количество черных и белых шаров было одинаковым:

\(C(5, 3) \cdot C(5, 3) + C(5, 4) \cdot C(5, 2)\)

\(C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5 - 3)!}} = 10\)
\(C(5, 4) = \frac{{5!}}{{4! \cdot (5 - 4)!}} = 5\)
\(C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5 - 2)!}} = 10\)

Подставим значения в формулу:

\(10 \cdot 10 + 5 \cdot 10\)

Выполняем вычисления:

\(100 + 50 = 150\)

Таким образом, общее количество способов выбора 6 шаров таким образом, чтобы количество черных и белых шаров было одинаковым, равно 150.

Чтобы определить вероятность данного события, мы можем разделить общее количество способов выбора 6 шаров таким образом, чтобы количество черных и белых шаров было одинаковым, на общее количество способов выбора 6 шаров из урны:

\(\frac{{150}}{{210}}\)

Выполняем вычисления:

\(\frac{{150}}{{210}} \approx 0.714\)

Таким образом, вероятность выбрать 6 шаров из урны, содержащей 5 белых и 5 черных шаров, таким образом, чтобы количество черных и белых шаров было одинаковым, примерно равна 0.714 или около 71.4%.