Какова вероятность выбрать 3 отличника из 9 случайно отобранных учеников из класса, в котором изначально 12 учеников

Для решения этой задачи нам понадобится применить комбинаторику и вероятность.

Для начала посчитаем общее число способов выбрать 3 учеников из класса, в котором находится 12 учеников. Для этого воспользуемся формулой сочетания, которая выглядит следующим образом:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - общее число элементов, а \(k\) - число элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае \(n = 12\) и \(k = 3\), поэтому мы можем рассчитать число способов выбрать 3 учеников из 12.

\[\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!}\]

Раскроем факториалы в числителе и знаменателе:

\[\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 8!}\]

Заметим, что множители \(9\) и \(8!\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\[\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Теперь мы можем вычислить это значение:

\[\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\]

Итак, общее число способов выбрать 3 учеников из 12 равно 220.

Теперь рассмотрим случай, когда мы выбираем 3 отличника из 9 учеников. В данном случае в классе изначально 5 отличников, поэтому общее число способов выбрать 3 отличника из 9 будет:

\[\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!}\]

Выполним аналогичные вычисления:

\[\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\]

Таким образом, общее число способов выбрать 3 отличника из 9 равно 84.

Итак, чтобы найти вероятность выбрать 3 отличника из 9 случайно отобранных учеников, нам нужно разделить количество способов выбрать 3 отличника из 9 на общее количество способов выбрать 3 учеников из 12:

\[\text{Вероятность} = \frac{\text{число способов выбрать 3 отличника из 9}}{\text{число способов выбрать 3 ученика из 12}} = \frac{84}{220} \approx 0.3818\]

Итак, вероятность выбрать 3 отличника из 9 случайно отобранных учеников равна примерно 0.3818 или около 38.18%.