1) Какова площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом r, где r=1? 2) Что такое объем правильной треугольной

Конечно! Давайте начинать с первой задачи.

1) Чтобы найти площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом r, нам понадобится использовать знания о связи между радиусом и сторонами вписанного треугольника.

В данном случае, у нас есть радиус круга, r=1. Чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно знать длины его сторон. Давайте назовем эти стороны a, b и c.

Согласно свойству вписанного треугольника, радиус круга, проведенный к любой стороне треугольника, будет перпендикулярен этой стороне и делить ее пополам. Таким образом, мы можем сделать выводы о сторонах треугольника.

Пусть a, b и c - стороны треугольника. Тогда каждая из этих сторон равна двум радиусам: a=2r, b=2r и c=2r.

Для нахождения площади треугольника, мы можем использовать формулу Герона. Она основана на длинах сторон треугольника. Если нам известны длины сторон a, b и c, то площадь треугольника (S) может быть найдена по формуле:

\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

где \(s\) - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех сторон и разделив на 2:

\[s = \frac{a + b + c}{2}\]

Подставляя значения сторон треугольника, мы можем вычислить площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом 1:

\[a = 2 \cdot r = 2 \cdot 1 = 2\]
\[b = 2 \cdot r = 2 \cdot 1 = 2\]
\[c = 2 \cdot r = 2 \cdot 1 = 2\]

\[s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2 + 2 + 2}{2} = 3\]

\[S = \sqrt{3(3-2)(3-2)(3-2)} = \sqrt{3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{3} \approx 1.732\]

Таким образом, площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом 1, составляет около 1.732 квадратных единиц.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить, зная сторону основания и апофему, наклоненную к плоскости основания под углом 60 градусов.

В данном случае, у нас есть сторона основания, a=2, и апофема, o.

Апофема - это расстояние от центра основания до вершины пирамиды. В правильной треугольной пирамиде, апофема делится на две равные части сечением пирамиды, образуя прямой угол с основанием. Таким образом, мы можем найти половину апофемы, o/2, с помощью теоремы Пифагора:

\[(\frac{a}{2})^2+(\frac{o}{2})^2=o^2\]

Из условия задачи, у нас есть угол между апофемой и основанием, равный 60 градусов. Это позволяет нам использовать геометрические связи внутри пирамиды.

Мы также можем использовать тангенс угла 60 градусов, чтобы найти соотношение между апофемой и стороной основания:

\[\tan(60^\circ)=\frac{o/2}{a/2}\]

\[\sqrt{3}=\frac{o/2}{a/2}\]

Переупорядочивая уравнение и подставляя значение стороны основания, мы можем найти значение половины апофемы:

\[o/2 = \sqrt{3} \cdot (a/2) = \sqrt{3} \cdot (2/2) = \sqrt{3}\]

Теперь мы можем найти значение апофемы, умножив это значение на 2:

\[o = 2 \cdot (\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\]

Теперь, чтобы вычислить объем пирамиды, мы используем следующую формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \text{Площадь основания} \cdot \text{Высота}\]

В правильной треугольной пирамиде, высота равна апофеме.

Площадь основания можно найти с помощью формулы для площади треугольника:

\[S_{\text{основания}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{(2)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для объема:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 2 и апофемой, наклоненной к плоскости основания под углом 60 градусов, равен 2.