1) Какова площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом r, где r=1? 2) Что такое объем правильной треугольной

Конечно! Давайте начинать с первой задачи.

1) Чтобы найти площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом r, нам понадобится использовать знания о связи между радиусом и сторонами вписанного треугольника.

В данном случае, у нас есть радиус круга, r=1. Чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно знать длины его сторон. Давайте назовем эти стороны a, b и c.

Согласно свойству вписанного треугольника, радиус круга, проведенный к любой стороне треугольника, будет перпендикулярен этой стороне и делить ее пополам. Таким образом, мы можем сделать выводы о сторонах треугольника.

Пусть a, b и c - стороны треугольника. Тогда каждая из этих сторон равна двум радиусам: a=2r, b=2r и c=2r.

Для нахождения площади треугольника, мы можем использовать формулу Герона. Она основана на длинах сторон треугольника. Если нам известны длины сторон a, b и c, то площадь треугольника (S) может быть найдена по формуле:

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

где $s$ - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив длины всех сторон и разделив на 2:

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

Подставляя значения сторон треугольника, мы можем вычислить площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом 1:

$$a=2\cdot r=2\cdot 1=2$$
$$b=2\cdot r=2\cdot 1=2$$
$$c=2\cdot r=2\cdot 1=2$$

$$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2+2+2}{2}=3$$

$$S=\sqrt{3(3-2)(3-2)(3-2)}=\sqrt{3\cdot 1\cdot 1\cdot 1}=\sqrt{3}\approx 1.732$$

Таким образом, площадь треугольника, вписанного в круг с радиусом 1, составляет около 1.732 квадратных единиц.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить, зная сторону основания и апофему, наклоненную к плоскости основания под углом 60 градусов.

В данном случае, у нас есть сторона основания, a=2, и апофема, o.

Апофема - это расстояние от центра основания до вершины пирамиды. В правильной треугольной пирамиде, апофема делится на две равные части сечением пирамиды, образуя прямой угол с основанием. Таким образом, мы можем найти половину апофемы, o/2, с помощью теоремы Пифагора:

$$(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{o}{2}{)}^2=o^2$$

Из условия задачи, у нас есть угол между апофемой и основанием, равный 60 градусов. Это позволяет нам использовать геометрические связи внутри пирамиды.

Мы также можем использовать тангенс угла 60 градусов, чтобы найти соотношение между апофемой и стороной основания:

$$\tan ({60}^{\circ })=\frac{o/2}{a/2}$$

$$\sqrt{3}=\frac{o/2}{a/2}$$

Переупорядочивая уравнение и подставляя значение стороны основания, мы можем найти значение половины апофемы:

$$o/2=\sqrt{3}\cdot (a/2)=\sqrt{3}\cdot (2/2)=\sqrt{3}$$

Теперь мы можем найти значение апофемы, умножив это значение на 2:

$$o=2\cdot (\sqrt{3})=2\sqrt{3}$$

Теперь, чтобы вычислить объем пирамиды, мы используем следующую формулу:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \text{Площадь основания}\cdot \text{Высота}$$

В правильной треугольной пирамиде, высота равна апофеме.

Площадь основания можно найти с помощью формулы для площади треугольника:

$$S_{\text{основания}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$S_{\text{основания}}=\frac{(2{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$

Теперь мы можем подставить значения в формулу для объема:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot (2\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{2\cdot 3}{3}=2$$

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 2 и апофемой, наклоненной к плоскости основания под углом 60 градусов, равен 2.