Какова вероятность того, что на интервале (0,1) наугад выбранные три точки x, y, z образуют вектор а=(x,y,z), такой

Для решения этой задачи, нам нужно рассмотреть условие, которое мы имеем:
- Интервал (0,1) означает, что все выбранные точки x, y, z должны находиться в пределах от 0 до 1.
- Вектор b=(2,1,1) является вектором, с которым мы будем сравнивать вектор a=(x,y,z) с помощью скалярного произведения.

Для начала, давайте рассмотрим скалярное произведение векторов a и b:

\[ a \cdot b = x \cdot 2 + y \cdot 1 + z \cdot 1 \]

Теперь, чтобы найти вероятность, что скалярное произведение a и b будет меньше единицы, мы должны рассмотреть все комбинации возможных значений x, y и z, которые удовлетворяют условию (0,1).

Сначала рассмотрим случай, когда скалярное произведение меньше единицы (часть a):

\[ x \cdot 2 + y \cdot 1 + z \cdot 1 < 1 \]

Теперь нам нужно рассмотреть все комбинации x, y и z, которые удовлетворяют этому неравенству.

Чтобы лучше понять, как получить эти комбинации, мы можем пошагово рассмотреть каждую переменную.

1. X: Если x находится в пределах от 0 до 1, то разделим этот интервал на две половины:
- Когда \(0 \leq x < \frac{1}{2}\): В этом случае значения y и z могут быть любыми, так как величина \(x \cdot 2\) всегда будет меньше 1.
- Когда \(\frac{1}{2} \leq x \leq 1\): В этом случае \(x \cdot 2\) будет больше 1, поэтому значения y и z должны быть выбраны таким образом, чтобы их сумма не превышала значение \(1 - x \cdot 2\).

2. Y: Здесь нам нужно выбрать значения y с учетом выбранного значения x:
- Если \(0 \leq x \leq \frac{1}{2}\): Значения y могут быть любыми, так как \(x \cdot 2 + y \cdot 1\) всегда будет меньше 1.
- Если \(\frac{1}{2} \leq x \leq 1\): В этом случае мы должны выбрать значения y таким образом, чтобы \(y \cdot 1 \leq 1 - x \cdot 2 - z \cdot 1\).

3. Z: Здесь мы выбираем значения z с учетом выбранного значения x и y:
- Если \(0 \leq x \leq \frac{1}{2} \) и \(0 \leq y \leq 1 \): Значения z могут быть любыми, так как \(x \cdot 2 + y \cdot 1 + z \cdot 1\) всегда будет меньше 1.
- Если \(\frac{1}{2} \leq x \leq 1\) и \(0 \leq y \leq 1\): В этом случае, мы должны выбрать значения z таким образом, чтобы \(z \cdot 1 \leq 1 - x \cdot 2 - y \cdot 1\).

Теперь рассмотрим случай, когда скалярное произведение меньше двух (часть b):

\[ x \cdot 2 + y \cdot 1 + z \cdot 1 < 2 \]

Аналогично предыдущему случаю, мы можем рассмотреть комбинации значений x, y и z для этого неравенства, и учесть ограничения каждой переменной.

Итак, чтобы найти вероятность, вам нужно рассмотреть все возможные комбинации значений x, y и z, которые удовлетворяют соответствующему неравенству, и поделить количество удовлетворяющих комбинаций на общее число возможных комбинаций.

Обрисуя каждую часть решения подробно, мы можем гарантировать, что школьник поймет логику решения задачи и сможет легко повторить процесс самостоятельно.