Какова вероятность того, что из пяти проверяемых изделий: а) будет менее двух стандартных? б) будет хотя бы одно

Хорошо! Рассмотрим вашу задачу.

Для начала нам необходимо знать вероятность того, что одно изделие будет стандартным. Обозначим эту вероятность как \(p\).

а) Чтобы найти вероятность того, что из пяти проверяемых изделий будет менее двух стандартных, мы должны посчитать вероятность того, что будет 0 или 1 стандартное изделие. Обозначим эту вероятность как \(P_1\).

* Для нахождения вероятности получить 0 стандартных изделий, мы используем формулу биномиального распределения: \[P(X=0) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\], где \(n\) - общее количество изделий, \(k\) - количество стандартных изделий, \(p\) - вероятность стандартного изделия.

В нашем случае \(n=5\), \(k=0\). Подставив значения в формулу, получаем:
\[P(X=0) = \binom{5}{0}\cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5\]

* Далее, чтобы найти вероятность получить 1 стандартное изделие, мы используем ту же формулу:
\[P(X=1) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

В нашем случае \(n=5\), \(k=1\). Подставив значения в формулу, получаем:
\[P(X=1) = \binom{5}{1}\cdot p^1 \cdot (1-p)^{5-1} = 5\cdot p\cdot (1-p)^4\]

Наконец, чтобы найти вероятность того, что будет менее двух стандартных изделий, мы складываем вероятности получить 0 и 1 стандартное изделие:
\[P_1 = P(X=0) + P(X=1) = (1-p)^5 + 5\cdot p\cdot (1-p)^4\]

б) Теперь рассмотрим вероятность того, что из пяти проверяемых изделий будет хотя бы одно стандартное. Обозначим эту вероятность как \(P_2\).

Чтобы найти вероятность получить хотя бы одно стандартное изделие, мы можем вычесть из единицы вероятность получить ноль стандартных изделий:
\[P_2 = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)^5\]

в) Наконец, рассмотрим наиболее вероятное количество стандартных изделий из пяти проверяемых и найдем вероятность этого события. Обозначим наиболее вероятное количество стандартных изделий как \(k_{max}\).

Известно, что наиболее вероятное количество стандартных изделий соответствует максимуму биномиального распределения. В нашем случае биномиальное распределение задается формулой:
\[P(X=k) = \binom{5}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{5-k}\]

Чтобы найти \(k_{max}\), мы должны найти значение \(k\), для которого вероятность \(P(X=k)\) максимальна.

В нашем случае \(n=5\). Мы можем посчитать вероятности для всех значений \(k\) от 0 до 5 и найти максимальное значение:
\[P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4), P(X=5)\]

После нахождения максимальной вероятности, обозначим это значение как \(P_{max}\).

Наконец, чтобы найти вероятность того, что будет наиболее вероятное количество стандартных изделий, мы делим \(P_{max}\) на сумму всех вероятностей:
\[P_3 = \frac{P_{max}}{\sum_{k=0}^5 P(X=k)}\]

Таким образом, мы рассмотрели все варианты и найдем вероятности для заданных вопросов. Не забывайте подставить конкретное значение вероятности стандартного изделия \(p\), чтобы получить численный ответ.