Какова площадь треугольника АОВ, если длина дуги АВ равна 120° и длина окружности на рисунке равна 16π?

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые знания о геометрии окружности. Давайте разберем задачу пошагово.

Шаг 1: Определение

Площадь треугольника АОВ можно найти, используя формулу площади треугольника, а затем вычтя площадь сегмента АВО из площади сектора АВО.

Шаг 2: Нахождение площади сектора АВО

Сначала нам необходимо найти площадь сектора АВО. Для этого мы можем использовать формулу:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{{\theta}}{360°} \times \pi r^2\]

где \(S_{\text{сектора}}\) - площадь сектора, \(\theta\) - длина дуги АВ в градусах, \(r\) - радиус окружности.

В данной задаче нам дано, что длина дуги АВ равна 120°. Поскольку радиус окружности нам неизвестен, но дано, что длина окружности равна 16π, мы можем использовать связь между длиной окружности и радиусом:

\[C = 2 \pi r\]

где \(C\) - длина окружности, \(r\) - радиус окружности.

Перепишем эту формулу, чтобы найти радиус:

\[r = \frac{C}{2\pi}\]

Заменяем значение длины окружности и находим радиус:

\[r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8\]

Теперь, подставив полученные значения в формулу для площади сектора, найдем площадь сектора АВО:

\[S_{\text{сектора}} = \frac{120°}{360°} \times \pi \times 8^2 = \frac{1}{3}\pi \times 64 = \frac{64}{3}\pi\]

Шаг 3: Нахождение площади сегмента АВО

Площадь сегмента АВО можно вычислить с помощью формулы:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta)\]

где \(S_{\text{сегмента}}\) - площадь сегмента, \(\theta\) - длина дуги АВ в градусах, \(r\) - радиус окружности.

Подставляем значение для длины дуги АВ и значение радиуса:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \times 8^2 \left(120° - \sin 120°\right)\]

Для вычисления значения \(\sin 120°\) мы можем использовать стандартные таблицы значений синуса или калькулятор. В данном случае, \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Подставляем это значение и вычисляем площадь сегмента:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \times 8^2 \left(120° - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Вычисляем выражение в скобках:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \times 8^2 \left(120° - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} \times 8^2 \times \left(\frac{240 - \sqrt{3}}{2}\right)\]

Упрощаем числовое выражение:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} \times 8^2 \times \left(\frac{240 - \sqrt{3}}{2}\right) = 32 \times \left(120 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Вычисляем оставшуюся часть:

\[S_{\text{сегмента}} = 32 \times \left(120 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 32 \times \left(120 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Здесь мы оставляем ответ в таком виде, так как он достаточно точен и не требует округления.

Шаг 4: Нахождение площади треугольника АОВ

Наконец, вычтем площадь сегмента АВО из площади сектора АВО:

\[S_{\text{треугольника АОВ}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{сегмента}} = \frac{64}{3}\pi - 32 \times \left(120 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Данное выражение является окончательным ответом и включает все вычисления, которые мы сделали, чтобы найти площадь треугольника АОВ.

Важно отметить, что значение числа \(\pi\) не является точным, поэтому в некоторых случаях может потребоваться округление ответа до определенного количества десятичных знаков в зависимости от требований задачи.