Какова вероятность того, что из 5 случайно выбранных галстуков окажутся все галстуки одного цвета, если в коробке лежит

Давайте решим данную задачу. У нас есть коробка с 30 галстуками, где 14 из них красные, а остальные белые. Мы случайно выбираем 5 галстуков. Нам нужно найти вероятность того, что все выбранные галстуки будут одного цвета.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой. Всего у нас есть 30 галстуков, и мы выбираем 5 из них. Это можно выразить как сочетание из 30 по 5, обозначенное как \(\binom{30}{5}\).

Теперь распределим наши галстуки по цветам. У нас 14 красных галстуков и 16 белых галстуков.

Если все выбранные галстуки окажутся красными (т.е. у нас будут только красные галстуки), то мы должны выбрать 5 из 14 красных галстуков. Это сочетание из 14 по 5, обозначенное как \(\binom{14}{5}\).

Аналогично, если все выбранные галстуки окажутся белыми, то мы должны выбрать 5 из 16 белых галстуков. Это сочетание из 16 по 5, обозначенное как \(\binom{16}{5}\).

Теперь мы можем выразить вероятность события P, что все выбранные галстуки будут одного цвета, как отношение числа благоприятных исходов (когда все 5 галстуков либо красные, либо белые), к общему числу исходов (когда мы выбираем 5 галстуков из 30):

\[P = \frac{\binom{14}{5} + \binom{16}{5}}{\binom{30}{5}}\]

Вычислим числитель данной дроби:

\(\binom{14}{5} = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14!}{5!9!} = \frac{14\times13\times12\times11\times10}{5\times4\times3\times2\times1} = 2002\)

\(\binom{16}{5} = \frac{16!}{5!(16-5)!} = \frac{16!}{5!11!} = \frac{16\times15\times14\times13\times12}{5\times4\times3\times2\times1} = 4368\)

Теперь вычислим знаменатель данной дроби:

\(\binom{30}{5} = \frac{30!}{5!(30-5)!} = \frac{30!}{5!25!} = \frac{30\times29\times28\times27\times26}{5\times4\times3\times2\times1} = 142506\)

Теперь, когда у нас есть числитель и знаменатель, мы можем вычислить вероятность P:

\[P = \frac{2002 + 4368}{142506} \approx 0.053\]

Таким образом, вероятность того, что из 5 случайно выбранных галстуков окажутся все галстуки одного цвета, составляет примерно 0.053 или около 5.3%.