Чтобы минимизировать радиус шара, описанного около пирамиды, при заданном объеме пирамиды, нужно найти длину ее высоты

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды и формулу для радиуса шара, описанного около пирамиды. Давайте начнем с пошагового решения.

Шаг 1: Найдем формулу для объема пирамиды.
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,\]
где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Шаг 2: Введем известные данные из условия задачи.
Мы знаем, что объем пирамиды равен 72.

Шаг 3: Найдем формулу для радиуса шара, описанного около пирамиды.
Радиус \(R\) шара, описанного около пирамиды, связан с площадью основания пирамиды \(S_{\text{осн}}\) и высотой пирамиды \(h\) следующим образом:
\[R = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot h.\]

Шаг 4: Решим задачу.
Мы хотим минимизировать радиус шара, описанного около пирамиды.
Для этого нам нужно найти длину высоты пирамиды \(h\), соответствующую минимальному радиусу.
Из формулы для радиуса шара, мы видим, что радиус пропорционален высоте пирамиды.

Так как объем пирамиды равен 72, мы можем записать уравнение на основе формулы для объема пирамиды:
\[72 = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h.\]

Так как площадь основания пирамиды - это квадрат, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, то площадь основания равна стороне квадрата, возведенной в квадрат:
\[S_{\text{осн}} = a^2,\]
где \(a\) - длина стороны квадрата.

Подставим это в уравнение для объема пирамиды:
\[72 = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h.\]

Теперь найдем формулу для радиуса шара, используя выражение для \(h\):
\[R = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot h.\]

Мы хотим найти значение \(h\), при котором радиус шара будет минимальным.
Для этого можно представить радиус как функцию высоты пирамиды: \(R(h)\).
И тогда мы должны найти минимум функции \(R\).
Но заметим, что радиус пропорционален высоте пирамиды, так что мы также можем связать \(R\) и \(h\) через уравнение:
\[R = k \cdot h,\]
где \(k\) - коэффициент пропорциональности.

Тогда будем иметь:
\[\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot h = k \cdot h.\]

Чтобы найти минимальное значение радиуса, мы можем найти значение \(h\), при котором производная равна нулю:
\[\frac{dR}{dh} = 0.\]

Расcчитаем производную \(R(h)\) и приравняем ее к нулю:
\[\frac{dR}{dh} = \frac{\sqrt{3}}{3} - k = 0.\]

Отсюда получаем:
\[k = \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Подставим это значение \(k\) в уравнение для радиуса шара:
\[\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot h.\]

Таким образом, радиус шара минимальный при любом значении \(h\).

Итак, чтобы минимизировать радиус шара, описанного около пирамиды, при заданном объеме пирамиды, нам необходимо найти длину ее высоты \(h\). Однако, так как радиус пропорционален высоте, мы можем выбрать любое разумное значение \(h\) для минимизации радиуса.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, какой ответ следует дать школьнику. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Удачи вам и вашему школьнику!