Какова вероятность того, что из 450 случайно выбранных болванок, количество болванок без зазубрин будет составлять

Чтобы определить вероятность того, что из 450 случайно выбранных болванок количество болванок без зазубрин будет составлять от 280 до 300, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Определите количество возможных способов выбрать 450 болванок из общего количества болванок.

Используем формулу комбинаторики для определения числа сочетаний без повторений. Формула для этого равна:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где \(n\) - общее количество болванок, а \(k\) - количество выбранных болванок.

В данном случае \(n = 450\) и \(k = 450\).

\[\binom{450}{450} = \frac{450!}{450!(450-450)!} = 1\]

Таким образом, всего существует только один способ выбрать 450 болванок из общего количества.

Шаг 2: Определите количество способов выбрать от 280 до 300 болванок без зазубрин.

В этом случае нам нужно определить количество сочетаний для выбора 280, 281, 282, ..., 299, 300 болванок без зазубрин. Для этого мы будем использовать сумму комбинаций для каждого из чисел от 280 до 300.

\[\binom{m}{k} = \frac{m!}{k!(m-k)!}\]

где \(m\) - количество болванок без зазубрин, а \(k\) - количество выбранных болванок без зазубрин.

Мы можем использовать формулу для каждого числа от 280 до 300 и сложить результаты:

\[\binom{280}{450} + \binom{281}{450} + \binom{282}{450} + ... + \binom{299}{450} + \binom{300}{450}\]

Однако, расчет такой суммы может быть довольно сложным и занимать много времени. Мы можем использовать другой подход для определения приближенного значения.

Шаг 3: Определите вероятность выбора от 280 до 300 болванок без зазубрин.

Мы знаем, что вероятность получить определенное количество болванок без зазубрин при выборе одной болванки является константной и равна \(p = \frac{1}{2}\), так как известно, что половина болванок без зазубрин.

Мы также знаем, что количество болванок без зазубрин в выборке является случайной величиной, которая следует биномиальному распределению. Для расчета вероятности выбора от 280 до 300 болванок без зазубрин, мы можем использовать биномиальное распределение.

В данном случае, мы можем использовать нормальное приближение к биномиальному распределению с помощью правила трех сигм (правила трех сигм гласит, что около 99.7% значений случайной величины находится в пределах трех стандартных отклонений от ее математического ожидания).

Сначала определим математическое ожидание (среднее значение) и стандартное отклонение для данной случайной величины:

Математическое ожидание (среднее значение):

\[\mu = n \cdot p = 450 \cdot \frac{1}{2} = 225\]

Стандартное отклонение:

\[\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{450 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{112.5} \approx 10.61\]

Теперь мы можем использовать нормальное распределение для определения вероятности выбора от 280 до 300 болванок без зазубрин.

Переведем значения 280 и 300 в стандартные единицы \(Z\):

\[Z_1 = \frac{280 - \mu}{\sigma} = \frac{280 - 225}{10.61} \approx 5.18\]
\[Z_2 = \frac{300 - \mu}{\sigma} = \frac{300 - 225}{10.61} \approx 7.07\]

Используя таблицу нормального распределения или калькулятор, мы можем найти вероятности для \(Z\) значений, равных \(Z_1\) и \(Z_2\).

\(\Pr(Z \leq Z_1) \approx \Pr(Z \leq 5.18) \approx 1.0\) (примерно)
\(\Pr(Z \leq Z_2) \approx \Pr(Z \leq 7.07) \approx 1.0\) (примерно)

Таким образом, приближенная вероятность выбора от 280 до 300 болванок без зазубрин составляет \(1.0 - 1.0 = 0\) (примерно).

В заключение, вероятность того, что из 450 случайно выбранных болванок количество болванок без зазубрин будет составлять от 280 до 300, приближенно равна 0.