Какова вероятность отказа радиоприемника, смонтированного из 9 радиодеталей со стандартной вероятностью брака 0,05

Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как здесь имеется последовательность испытаний с двумя возможными исходами: бракованная или небракованная деталь.

Вероятность возникновения брака в одной детали равна 0,05, а вероятность отсутствия брака - 0,95.

а) Чтобы найти вероятность отказа ровно 5 деталей, используем формулу биномиального распределения:

\[P_k = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k},\]

где \(P_k\) - вероятность, что отказано ровно \(k\) деталей из \(n\), \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p\) - вероятность брака в одной детали, а \(n\) - общее количество деталей.

В данной задаче нужно найти вероятность отказа ровно 5 деталей при \(n = 9\) и \(p = 0,05\):

\[P_5 = C_9^5 \cdot 0,05^5 \cdot (1-0,05)^{9-5}.\]

Рассчитаем каждый из компонентов формулы:

\[C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126.\]

\[0,05^5 = 0,05 \cdot 0,05 \cdot 0,05 \cdot 0,05 \cdot 0,05 = 0,000005.\]

\[1 - 0,05 = 0,95.\]

Теперь подставим найденные значения в формулу:

\[P_5 = 126 \cdot 0,000005 \cdot 0,95^4.\]

Рассчитаем это выражение:

\[P_5 \approx 0,000531441.\]

Таким образом, вероятность отказа ровно 5 деталей составляет примерно 0,000531441.

б) Чтобы найти вероятность того, что приемник будет работать, нужно рассмотреть все случаи, когда отказывают не более одной детали.

Вероятность отказа не более одной детали равна:

\[P_{\text{работы}} = P_0 + P_1,\]

где \(P_0\) - вероятность отказа ни одной детали, \(P_1\) - вероятность отказа только одной детали.

Рассчитаем каждый из этих случаев:

\(P_0 = C_9^0 \cdot 0,05^0 \cdot (1-0,05)^{9-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0,95^9 \approx 0,630249409.\)

\(P_1 = C_9^1 \cdot 0,05^1 \cdot (1-0,05)^{9-1} = 9 \cdot 0,05 \cdot 0,95^8 \approx 0,294187683.\)

Теперь сложим эти вероятности:

\(P_{\text{работы}} = 0,630249409 + 0,294187683 \approx 0,924437092.\)

Таким образом, вероятность того, что приемник будет работать, составляет примерно 0,924437092.

в) Чтобы найти вероятность того, что приемник откажет, нужно рассмотреть все случаи, когда отказывают две или более детали.

Вероятность отказа двух или более деталей равна:

\[P_{\text{отказа}} = 1 - P_{\text{работы}}.\]

Подставим значение вероятности работы из предыдущего пункта:

\[P_{\text{отказа}} = 1 - 0,924437092.\]

Рассчитаем это выражение:

\[P_{\text{отказа}} \approx 0,075562908.\]

Таким образом, вероятность того, что приемник откажет, составляет примерно 0,075562908.