Необходимо подтвердить равенство (2x+5/x^2+4x+4 - x+3/x^2+2x): x^2-6/x^2-4x = x-2/x+2. Просьба решить

Давайте решим данную задачу.

Для начала, найдем общий знаменатель для всех дробей в левой части равенства. Общий знаменатель будет равен произведению знаменателей этих дробей, то есть \( (x^2 + 4x + 4) \cdot (x^2 + 2x) \).

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю. Для первой дроби получим:

\[
\frac{{2x+5}}{{x^2+4x+4}} = \frac{{2x+5}}{{(x+2)^2}}.
\]

Для второй дроби получим:

\[
\frac{{x+3}}{{x^2+2x}} = \frac{{x+3}}{{x(x+2)}}.
\]

После этого объединим дроби с общим знаменателем:

\[
\frac{{2x+5}}{{(x+2)^2}} - \frac{{x+3}}{{x(x+2)}}.
\]

Теперь проведем вычитание:

\[
\frac{{(2x+5) \cdot x - (x+3) \cdot (x+2)^2}}{{(x+2)^2 \cdot x(x+2)}}.
\]

Упростим числитель:

\[
(2x+5) \cdot x - (x+3) \cdot (x+2)^2 = 2x^2 + 5x - (x^2 + 7x + 12) = 2x^2 + 5x - x^2 - 7x - 12 = x^2 - 2x - 12.
\]

Теперь заменим числитель в исходном выражении:

\[
\frac{{x^2 - 2x - 12}}{{(x+2)^2 \cdot x(x+2)}}.
\]

Упростим знаменатель:

\[
(x+2)^2 \cdot x(x+2) = x(x+2)(x+2) = x(x+2)^2.
\]

После этих упрощений исходное выражение примет вид:

\[
\frac{{x^2 - 2x - 12}}{{x(x+2)^2}}.
\]

Теперь сравним это выражение с правой частью равенства \( \frac{{x-2}}{{x+2}} \).

Оба выражения имеют общий множитель \( x - 2 \). Сократим этот множитель в числителе и знаменателе и получим:

\[
\frac{{x^2 - 2x - 12}}{{x(x+2)^2}} = \frac{{(x-2)(x+6)}}{{x(x+2)^2}}.
\]

Теперь мы видим, что левая и правая части равенства совпадают:

\[
\frac{{x^2 - 2x - 12}}{{x(x+2)^2}} = \frac{{x-2}}{{x+2}}.
\]

Таким образом, мы подтвердили равенство \( \frac{{2x+5}}{{x^2+4x+4}} - \frac{{x+3}}{{x^2+2x}} = \frac{{x-2}}{{x+2}} \).