Какова вероятность отбора 3 студентов, учащихся на «хорошо» и «отлично», из общего числа отобранных 7 студентов

Для решения этой задачи, нам необходимо вычислить вероятность отбора трех студентов, которые учатся на "хорошо" и "отлично", из общего числа отобранных семи студентов из группы, состоящей из 18 студентов.

Для начала, нужно определить общее количество возможных комбинаций отбора 7 студентов из 18. Для этого воспользуемся формулой сочетаний:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где n - общее количество элементов (в данном случае 18), k - требуемое количество элементов (в данном случае 7), и ! обозначает факториал числа.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[C(18, 7) = \frac{{18!}}{{7! \cdot (18-7)!}} = \frac{{18!}}{{7! \cdot 11!}}\]

Теперь, нам нужно определить количество комбинаций отбора 3 студентов, которые учатся на "хорошо" и "отлично" из общего числа отобранных 7 студентов. Для этого мы рассчитаем количество комбинаций 3 студентов из 7:

\[C(7, 3) = \frac{{7!}}{{3! \cdot (7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}}\]

Теперь, чтобы определить вероятность отбора 3 студентов, которые учатся на "хорошо" и "отлично", мы должны разделить количество комбинаций отбора 3 студентов на общее количество возможных комбинаций отбора 7 студентов.

Итак, вероятность отбора 3 студентов, которые учатся на "хорошо" и "отлично" из общего числа отобранных 7 студентов, можно рассчитать следующим образом:

\[P = \frac{{C(7, 3)}}{{C(18, 7)}}\]

Подставляя значения, получаем:

\[P = \frac{{\frac{{7!}}{{3! \cdot 4!}}}}{{\frac{{18!}}{{7! \cdot 11!}}}} = \frac{{7! \cdot 7! \cdot 11!}}{{3! \cdot 4! \cdot 18!}}\]

Можно упростить выражение, сократив факториалы:

\[P = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4! \cdot 7 \cdot 6! \cdot 11!}}{{3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 18!}}\]

\[P = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3! \cdot 18!}}\]

\[P = \frac{{5 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{18!}}\]

Теперь можно вычислить значение \(P\) с помощью калькулятора:

\[P \approx 0.0439\]

Таким образом, вероятность отбора 3 студентов, учащихся на "хорошо" и "отлично", из общего числа отобранных 7 студентов из группы, состоящей из 18 студентов, равна около 0.0439 или примерно 4.39%.