Какова вероятность, что среди случайно выбранных 6 книг 3 будут учебниками, если на полке находятся 12 книг

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Давайте разберемся пошагово.

Всего у нас есть 12 книг, из которых 5 - учебники. Мы должны выбрать 6 книг, и нас интересует, что среди них будет ровно 3 учебника.

Первый шаг - выбрать 3 учебника. Мы имеем 5 учебников, поэтому число способов выбрать 3 учебника из 5 можно выразить через сочетания: \({{5}\choose{3}}\). Здесь "5" - это количество учебников, а "3" - это количество учебников, которые мы выбираем. По формуле сочетаний, \({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), мы можем вычислить эту величину. В данном случае, \({{5}\choose{3}} = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3!2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{3!2 \cdot 1!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2}} = 10\).

Второй шаг - выбрать оставшиеся 3 книги из оставшихся на полке 7 книг. Здесь мы должны выбрать 3 книги из 7, и это можно описать также через сочетания: \({{7}\choose{3}} = \frac{{7!}}{{3!(7-3)!}} = \frac{{7!}}{{3!4!}} = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{3!3!}} = \frac{{7 \cdot 6}}{{2}} = 21\).

Третий шаг - найти общее количество исходов, при которых мы выбрали 6 книг из 12 без каких-либо ограничений. Здесь мы имеем дело с полными перестановками из 12 элементов: \(12!\).

Наконец, мы можем найти вероятность того, что среди случайно выбранных 6 книг окажется 3 учебника, разделив количество благоприятных исходов на количество всех возможных исходов:
\[P = \frac{{{{5}\choose{3}} \cdot {{7}\choose{3}}}}{{12!}} = \frac{{10 \cdot 21}}{{12!}} = \frac{{210}}{{479001600}} \approx 0.000000437\]

Таким образом, вероятность того, что среди случайно выбранных 6 книг окажется ровно 3 учебника, составляет примерно \(0.000000437\), или можно сказать, что это очень маленькая вероятность.