Какова вероятность, что среди 4 случайно вытянутых карт из полной колоды карт (из 36 карт) будет хотя бы одна карта

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить вероятность того, что среди 4 случайно выбранных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти. Для этого мы сначала должны найти общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.

Общее количество возможных исходов можно найти с помощью принципа умножения. У нас есть 36 карт в колоде, и мы выбираем 4 карты. Поэтому общее количество возможных исходов равно \(\binom{36}{4}\), что можно рассчитать так:

\[\binom{36}{4} = \frac{36!}{4!(36-4)!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 58905.\]

Теперь давайте посмотрим на количество благоприятных исходов, когда у нас есть хотя бы одна карта бубновой масти. Есть два случая, которые можно рассмотреть:

1. Если у нас есть только одна карта бубновой масти: тогда выбираем одну из 9 карт бубновой масти и три из оставшихся 27 карт. Поэтому количество таких благоприятных исходов равно \(\binom{9}{1} \cdot \binom{27}{3}\).

2. Если у нас есть две, три или четыре карты бубновой масти: тогда выбираем две, три или четыре из 9 карт бубновой масти и одну, ноль или ноль из оставшихся 27 карт. Поэтому количество таких благоприятных исходов равно сумме \(\binom{9}{2} \cdot \binom{27}{2}\), \(\binom{9}{3} \cdot \binom{27}{1}\) и \(\binom{9}{4} \cdot \binom{27}{0}\).

Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно сумме этих двух случаев:

\[\binom{9}{1} \cdot \binom{27}{3} + \binom{9}{2} \cdot \binom{27}{2} + \binom{9}{3} \cdot \binom{27}{1} + \binom{9}{4} \cdot \binom{27}{0}.\]

Вычислим это значение:

\[\binom{9}{1} \cdot \binom{27}{3} = \frac{9!}{1!(9-1)!} \cdot \frac{27!}{3!(27-3)!} = 9 \cdot \frac{27 \cdot 26 \cdot 25}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2925 = 26325.\]
\[\binom{9}{2} \cdot \binom{27}{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} \cdot \frac{27!}{2!(27-2)!} = 36 \cdot 351 = 12636.\]
\[\binom{9}{3} \cdot \binom{27}{1} = \frac{9!}{3!(9-3)!} \cdot \frac{27!}{1!(27-1)!} = 84 \cdot 27 = 2268.\]
\[\binom{9}{4} \cdot \binom{27}{0} = \frac{9!}{4!(9-4)!} \cdot \frac{27!}{0!(27-0)!} = 126 \cdot 1 = 126.\]

Итак, общее количество благоприятных исходов равно:

\[26325 + 12636 + 2268 + 126 = 40555.\]

Теперь мы можем найти искомую вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

\[\frac{40555}{58905} \approx 0.6893.\]

Итак, вероятность того, что среди 4 случайно выбранных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти, составляет около 0.6893 или около 68.93%.