Какова вероятность, что среди 4 случайно вытянутых карт из полной колоды карт (из 36 карт) будет хотя бы одна карта

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить вероятность того, что среди 4 случайно выбранных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти. Для этого мы сначала должны найти общее количество возможных исходов и количество благоприятных исходов.

Общее количество возможных исходов можно найти с помощью принципа умножения. У нас есть 36 карт в колоде, и мы выбираем 4 карты. Поэтому общее количество возможных исходов равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{4})$, что можно рассчитать так:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{36}{4})=\frac{36!}{4!(36-4)!}=\frac{36\cdot 35\cdot 34\cdot 33}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=58905.$$

Теперь давайте посмотрим на количество благоприятных исходов, когда у нас есть хотя бы одна карта бубновой масти. Есть два случая, которые можно рассмотреть:

1. Если у нас есть только одна карта бубновой масти: тогда выбираем одну из 9 карт бубновой масти и три из оставшихся 27 карт. Поэтому количество таких благоприятных исходов равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{3})$.

2. Если у нас есть две, три или четыре карты бубновой масти: тогда выбираем две, три или четыре из 9 карт бубновой масти и одну, ноль или ноль из оставшихся 27 карт. Поэтому количество таких благоприятных исходов равно сумме $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{2})$, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{1})$ и $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{0})$.

Таким образом, общее количество благоприятных исходов равно сумме этих двух случаев:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{0}).$$

Вычислим это значение:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{3})=\frac{9!}{1!(9-1)!}\cdot \frac{27!}{3!(27-3)!}=9\cdot \frac{27\cdot 26\cdot 25}{3\cdot 2\cdot 1}=9\cdot 2925=26325.$$
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{2})=\frac{9!}{2!(9-2)!}\cdot \frac{27!}{2!(27-2)!}=36\cdot 351=12636.$$
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{1})=\frac{9!}{3!(9-3)!}\cdot \frac{27!}{1!(27-1)!}=84\cdot 27=2268.$$
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{27}{0})=\frac{9!}{4!(9-4)!}\cdot \frac{27!}{0!(27-0)!}=126\cdot 1=126.$$

Итак, общее количество благоприятных исходов равно:

$$26325+12636+2268+126=40555.$$

Теперь мы можем найти искомую вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

$$\frac{40555}{58905}\approx 0.6893.$$

Итак, вероятность того, что среди 4 случайно выбранных карт будет хотя бы одна карта бубновой масти, составляет около 0.6893 или около 68.93%.