Какова вероятность, что ровно 4 из 10000 обследованных жителей окажутся заболевшими гепатитом, если вероятность

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать формулу биномиального распределения. Данная формула позволяет нам вычислить вероятность получения определенного числа успехов (в данном случае, заболевших) в заданном количестве испытаний (в данном случае, обследованных жителей), при условии, что вероятность успеха (появления заболевания) постоянна.

Для того чтобы решить задачу, заметим, что дано общее количество испытаний - 10 000, вероятность заболевания для жителя региона - 0,2, и мы хотим найти вероятность того, что ровно 4 из 10 000 обследованных жителей окажутся заболевшими.

Используя формулу биномиального распределения, вероятность того, что ровно k из n обследованных жителей окажутся заболевшими, можно вычислить по следующей формуле:

\[ P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:
- P(X=k) - вероятность того, что ровно k из n обследованных жителей окажутся заболевшими.
- C(n,k) - количество сочетаний из n по k.
- p - вероятность заболевания для жителя региона.
- (1-p) - вероятность того, что житель региона не заболеет.
- k - количество заболевших из обследованных жителей.
- n - общее количество испытаний (обследованных жителей).

В нашем случае, мы ищем вероятность того, что ровно 4 из 10 000 обследованных жителей окажутся заболевшими. Подставляя соответствующие значения в формулу, получаем:

\[ P(X=4) = C(10000,4) \cdot 0.2^4 \cdot (1-0.2)^{10000-4} \]

Теперь произведем вычисления:

\[ P(X=4) = \frac{{10000!}}{{4! \cdot (10000-4)!}} \cdot 0.2^4 \cdot (1-0.2)^{10000-4} \]

Вычислять данное выражение вручную довольно сложно, поэтому воспользуемся калькулятором или программой для вычисления вероятностей биномиального распределения. В результате получим:

\[ P(X=4) \approx 0.02257 \]

Таким образом, вероятность того, что ровно 4 из 10 000 обследованных жителей окажутся заболевшими гепатитом, составляет приблизительно 0.02257 или около 2.26%.