Какой объем и полная поверхность у прямой призмы с боковым ребром 2 см и основанием: а) ромбом с стороной 6 см и острым

Хорошо, давайте решим каждую часть задачи по очереди.

а) Для начала найдем площадь ромба, который является основанием данной прямой призмы. Формула площади ромба: \(S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. Воспользуемся свойствами ромба: обе диагонали равны \(6 \, \text{см}\) и образуют между собой угол в \(60^\circ\). Для вычисления площади воспользуемся формулой: \(S = \frac{{6 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ)}}{2}\). Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\), то \(S = \frac{{6 \cdot 6 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{2} = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2\).

Теперь найдем площадь боковой поверхности прямой призмы. Формула для этого: \(S_{\text{б}} = \text{периметр основания} \cdot \text{высота}\). Так как боковое ребро прямоугольника равно \(2 \, \text{см}\), то высота призмы равна \(2 \, \text{см}\). Периметр основания ромба равен \(4 \cdot 6 \, \text{см} = 24 \, \text{см}\). Тогда \(S_{\text{б}} = 24 \, \text{см} \cdot 2 \, \text{см} = 48 \, \text{см}^2\).

Таким образом, полная поверхность прямой призмы равна сумме площадей основания и боковой поверхности: \(S_{\text{п}} = S + S_{\text{б}} = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2 + 48 \, \text{см}^2 = 9 \sqrt{3} + 48 \, \text{см}^2\). Объем прямой призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту: \(V = S \cdot h = 9 \sqrt{3} \, \text{см}^2 \cdot 2 \, \text{см} = 18 \sqrt{3} \, \text{см}^3\).

Вот рисунок прямой призмы с ромбическим основанием:

\[
\begin{array}{ccccccccccccc}
& & & \text{Вершина} & & & & & & \\
& & & \downarrow & & & & & & \\
& & & ABCD \\
& & / & \color{red}\backslash & \text{Диагональ }d_1 \\
& & / & \color{blue}\backslash & \\
& & A & & & & B \\
& & \text{Высота призмы} & & & & \text{Боковое ребро} \\
& & & \downarrow & & & & \downarrow & \\
& & & H & & & & C \\
\end{array}
\]

б) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который является основанием второй призмы. Мы знаем значения его катетов: \(a = 3 \, \text{см}\) и гипотенузы: \(c = 5 \, \text{см}\). Для начала найдем второй катет по теореме Пифагора: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}\).

Теперь найдем площадь основания прямоугольной призмы, умножив длину \(a\) на ширину \(b\): \(S = a \cdot b = 3 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см} = 12 \, \text{см}^2\).

Найдем площадь боковой поверхности. Периметр основания равен сумме сторон прямоугольника: \(P = 2a + 2b = 2 \cdot 3 \, \text{см} + 2 \cdot 4 \, \text{см} = 14 \, \text{см}\). Теперь умножим периметр на высоту призмы: \(S_{\text{б}} = P \cdot h = 14 \, \text{см} \cdot 2 \, \text{см} = 28 \, \text{см}^2\).

Таким образом, полная поверхность прямоугольной призмы равна сумме площадей основания и боковой поверхности: \(S_{\text{п}} = S + S_{\text{б}} = 12 \, \text{см}^2 + 28 \, \text{см}^2 = 40 \, \text{см}^2\). Объем прямоугольной призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту: \(V = S \cdot h = 12 \, \text{см}^2 \cdot 2 \, \text{см} = 24 \, \text{см}^3\).

Вот рисунок прямой призмы с прямоугольным треугольным основанием:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccccccccccccccc}
& & & & & & & & & & & & & & \text{Вершина} & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & & & & & & \downarrow & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & & A & & & & & & & B \\
& & & & & & & \color{red}\backslash & & \color{blue}\backslash & & & & & \text{Диагональ }c & &