Какова вероятность, что по крайней мере одно письмо будет отправлено по правильному адресу, если секретарь отправляет

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые основы комбинаторики. В данном случае, мы имеем 5 писем, которые будут раскладываться в конверты по 5 адресам. Всего у нас есть 5! (читается как "5 факториал") способов раскладывать письма по адресам, где 5! равно 5*4*3*2*1 = 120.

Теперь нам нужно определить, сколько из этих 120 вариантов будут содержать хотя бы одно письмо с правильным адресом. Чтобы это сделать, мы рассмотрим количество вариантов, в которых все письма попадают не по своим адресам и вычтем это число из общего количества вариантов.

Есть несколько способов решить эту проблему. Один из них - использовать принцип включений-исключений. По этому принципу, мы сначала вычисляем количество вариантов, в которых ни одно письмо не попадает на свой адрес. Затем вычитаем количество вариантов, в которых два письма не попадают на свои адреса. После этого добавляем количество вариантов, в которых три письма не попадают на свои адреса, и так далее.

Количество вариантов, в которых ни одно письмо не попадает на свой адрес, можно рассчитать с помощью известной формулы для количества подстановок без неподвижных точек. Для 5 писем это количество равно D(5) = 5! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!) ≈ 44.1719.

Количество вариантов, в которых два письма не попадают на свои адреса, равно C(5,2)*(D(5-2)) = 10 * 2! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3!) ≈ 53.2167.

Точно таким же образом можно рассчитать количество вариантов, в которых количество писем, не попавших на свои адреса, равно 3, 4 и 5. Получаем:

- Количество вариантов, в которых три письма не попадают на свои адреса: C(5,3)*(D(5-3)) ≈ 22.0833.
- Количество вариантов, в которых четыре письма не попадают на свои адреса: C(5,4)*(D(5-4)) ≈ 4.1667.
- Количество вариантов, в которых все письма не попадают на свои адреса: C(5,5)*(D(5-5)) ≈ 0.

Теперь мы можем подсчитать общее количество вариантов, в которых хотя бы одно письмо попадает на свой адрес, вычитая из общего количества вариантов количество вариантов, в которых все письма оказываются не на своих местах:

Общее количество вариантов с хотя бы одним письмом, попавшим на свой адрес = 5! - D(5) + C(5,2)*(D(5-2)) - C(5,3)*(D(5-3)) + C(5,4)*(D(5-4)) - C(5,5)*(D(5-5)) ≈ 120 - 44.1719 + 53.2167 - 22.0833 + 4.1667 - 0 ≈ 111.1282.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одно письмо будет отправлено по правильному адресу, составляет отношение количества вариантов с хотя бы одним письмом, попавшим на свой адрес, к общему количеству вариантов:

Вероятность = (количество вариантов с хотя бы одним письмом, попавшим на свой адрес) / (общее количество вариантов) ≈ 111.1282 / 120 ≈ 0.926.

Итак, вероятность того, что по крайней мере одно письмо будет отправлено по правильному адресу, составляет около 0.926 или примерно 92.6%.