Какова величина и основной аргумент комплексных чисел: 1) z=3; 2) z=-3; 3) z=3i; 4) z=-3i; 5) z=-2-2i; 6) z=1+i√3

Конечно! Рассмотрим каждый из восьми комплексных чисел по очереди и найдем их величину и основной аргумент.

1) z = 3
Для нахождения величины комплексного числа \(z = 3\), необходимо посчитать модуль числа, а для нахождения основного аргумента - угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой, представляющей комплексное число.

В данном случае, величина комплексного числа равна модулю числа \(z = 3\), то есть величине обычного вещественного числа 3. Так как число \(z = 3\) находится на положительной полуоси действительной оси, то его основной аргумент равен 0° или 0 радиан.

2) z = -3
Аналогично предыдущему случаю, для определения величины числа \(z = -3\) найдем модуль данного числа. В данном случае, модуль числа опять равен величине обычного вещественного числа 3. Однако, число находится на отрицательной полуоси действительной оси, поэтому его основной аргумент равен 180° или \(\pi\) радиан.

3) z = 3i
При нахождении величины комплексного числа \(z = 3i\) сначала найдем модуль числа, который равен 3, так как число является мнимой единицей в три раза больше единицы. Чтобы найти основной аргумент, обратим внимание на положение числа на комплексной плоскости. Число \(z = 3i\) находится на положительной полуоси мнимой оси, поэтому его основной аргумент равен 90° или \(\frac{\pi}{2}\) радиан.

4) z = -3i
Точно так же, как и в предыдущем случае, модуль комплексного числа \(z = -3i\) равен 3, так как число является мнимой единицей в три раза больше единицы. В данном случае, число находится на отрицательной полуоси мнимой оси, поэтому его основной аргумент равен -90° или -\(\frac{\pi}{2}\) радиан.

5) z = -2 - 2i
Для комплексного числа \(z = -2 - 2i\), сначала найдем модуль по формуле модуля комплексного числа, равной квадратному корню из суммы квадратов действительной и мнимой частей. В нашем случае это \(\sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Чтобы найти основной аргумент, воспользуемся формулой для нахождения аргумента комплексного числа: \(\arctan(\frac{\text{мнимая часть}}{\text{действительная часть}})\). В данном случае, аргумент будет: \(\arctan(\frac{-2}{-2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\) радиан или 45°.

6) z = 1 + i\sqrt{3}
Для нахождения модуля комплексного числа \(z = 1 + i\sqrt{3}\) применим формулу модуля, получив \(\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\). Чтобы найти основной аргумент, воспользуемся формулой \(\arctan(\frac{\text{мнимая часть}}{\text{действительная часть}})\), что даст \(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}\) радиан или 60°.

7) z = 1 - i\sqrt{3}
Аналогично, модуль комплексного числа \(z = 1 - i\sqrt{3}\) будет равен \(\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\). Однако, в данном случае, основной аргумент равен \(-\frac{\pi}{3}\) радиан или -60°, так как число находится ниже действительной оси.

8) z = -\sqrt{3} + i
Для комплексного числа \(z = -\sqrt{3} + i\) определяем его модуль, который равен \(\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\). Основной аргумент данного числа равен \(\arctan(\frac{1}{-\sqrt{3}}) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}\) радиан, так как число находится под действительной осью.

Таким образом, мы рассмотрели все восемь комплексных чисел и определили их величину и основной аргумент.