Какова сумма проекций вектора на координатные оси, если длина модуля вектора |a¯| равна 2, и углы α, β и γ составляют

Для решения данной задачи, нам потребуется знание тригонометрии и геометрии.

Давайте представим вектор \(\vec{a}\) с началом в начале координат и концом в точке \(P\). Здесь \(P\) - это точка трехмерного пространства, в которой заканчивается вектор.

Так как модуль вектора \(|\vec{a}|\) равен 2, то длина вектора равна 2 единицам.

У нас есть углы \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), которые составляют 45°, 60° и 120° соответственно. Давайте нарисуем схематично вектор \(\vec{a}\) на трехмерной плоскости, чтобы визуально представить все эти углы.

Начнем с угла \(\alpha\). С учетом этого угла, проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(OX\) составит \(|\vec{a}|\cos{\alpha}\). По формуле геометрического определения косинуса:

\[
\cos{\alpha} = \frac{{\text{треугольник } POM}}{{|\vec{a}|}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}
\]

Следовательно, проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(OX\) равна:

\[
|\vec{a}|\cos{\alpha} = 2 \cdot \frac{{1}}{{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}
\]

Теперь перейдем к углу \(\beta\). Проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(OY\) составит \(|\vec{a}|\cos{\beta}\). По формуле геометрического определения косинуса:

\[
\cos{\beta} = \frac{{\text{треугольник } PON}}{{|\vec{a}|}} = \frac{{1}}{{2}}
\]

Следовательно, проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(OY\) равна:

\[
|\vec{a}|\cos{\beta} = 2 \cdot \frac{{1}}{{2}} = 1
\]

Наконец, угол \(\gamma\). Проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(OZ\) составит \(|\vec{a}|\cos{\gamma}\). По формуле геометрического определения косинуса:

\[
\cos{\gamma} = \frac{{\text{треугольник } POK}}{{|\vec{a}|}} = -\frac{{1}}{{2}}
\]

Заметьте, что мы получили отрицательное значение для \(\cos{\gamma}\), поскольку проекция вектора на ось \(OZ\) направлена в противоположную сторону. Следовательно, проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(OZ\) равна:

\[
|\vec{a}|\cos{\gamma} = 2 \cdot \left(-\frac{{1}}{{2}}\right) = -1
\]

Итак, сумма проекций вектора на координатные оси будет равна:

\[
\sqrt{2} + 1 -1 = \sqrt{2}
\]

Таким образом, сумма проекций вектора на координатные оси составляет \(\sqrt{2}\) единицы.