Сколько страниц в книге, если общая сумма использованных чисел для их нумерации равна 1708 и нумерация начинается

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Представим, что у нас есть книга с \(n\) страницами.
2. Заметим, что на каждой странице записывается ее номер. Поскольку нумерация начинается с единицы, номера страниц будут последовательно увеличиваться от 1 до \(n\).
3. Давайте найдем сумму всех чисел от 1 до \(n\). Мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии для этого. Формула выглядит следующим образом: \(\frac{{n \cdot (n + 1)}}{2}\).
4. Зная, что сумма всех чисел от 1 до \(n\) равна 1708, мы можем записать уравнение: \(\frac{{n \cdot (n + 1)}}{2} = 1708\).
5. Решим это уравнение. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: \(n \cdot (n + 1) = 3416\).
6. Распишем уравнение: \(n^2 + n = 3416\).
7. Перенесем все в одну сторону: \(n^2 + n - 3416 = 0\).
8. Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 1\), и \(c = -3416\).
9. Вычислим дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3416) = 1 + 13664 = 13665\).
10. Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня.
11. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).
12. Подставим значения:

Первый корень: \(x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{13665}}}{{2 \cdot 1}}\)

Второй корень: \(x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{13665}}}{{2 \cdot 1}}\)

Посчитаем значения и округлим их до целых чисел.

\(x_1 \approx 57\), \(x_2 \approx -58\).

Исключим отрицательное значение \(x_2\) так как это не имеет смысла в задаче.

Ответ: Максимальное возможное количество страниц в книге при данных условиях равно 57.