Какое значение х делает производную функции y=x-2 / x^2 равной?

Для решения этой задачи мы будем использовать правило дифференцирования частного функций. Давайте начнем с выражения вашей функции:

\[y = \frac{x-2}{x^2}\]

Чтобы найти производную этой функции, нам понадобится применить правило дифференцирования частного двух функций. Это правило гласит, что если у нас есть функция \(\frac{f(x)}{g(x)}\), то ее производная вычисляется по формуле:

\[(\frac{f(x)}{g(x)})" = \frac{f"(x)g(x) - f(x)g"(x)}{(g(x))^2}\]

Давайте применим это правило к нашей функции. Но сначала разложим числитель на две функции:

\[f(x) = x-2\]
\[g(x) = x^2\]

Теперь мы готовы вычислить производную. Для каждой функции мы найдем производную:

\[f"(x) = 1\]
\[g"(x) = 2x\]

Теперь, подставим значения в формулу:

\[(\frac{x-2}{x^2})" = \frac{(1)(x^2) - (x-2)(2x)}{(x^2)^2}\]

Давайте разберемся с числителем:

\((1)(x^2) - (x-2)(2x) = x^2 - 2x(x-2) = x^2 - 2x^2 + 4x = -x^2 + 4x\)

Теперь, заменяем выражение в числителе:

\[(\frac{x-2}{x^2})" = \frac{-x^2 + 4x}{(x^2)^2}\]

Подробности:

\[(x^2)^2 = x^4\]

Из всего этого получаем итоговое выражение для производной:

\[(\frac{x-2}{x^2})" = \frac{-x^2 + 4x}{x^4}\]

Итак, мы получили производную функции. Теперь, чтобы найти значение \(x\), при котором производная равна нулю, мы должны решить уравнение:

\[\frac{-x^2 + 4x}{x^4} = 0\]

Для решения этого уравнения нам нужно произвести ряд преобразований:

\[-x^2 + 4x = 0\]

Выносим общий множитель:

\[x(-x + 4) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(x\):

1) \(x = 0\)
2) \(-x + 4 = 0\)

Решим второе уравнение:

\(-x + 4 = 0\)

Добавим \(x\) к обеим сторонам:

\(4 = x\)

Таким образом, второе значение \(x\) равно 4.

Итак, мы получили два значения \(x\), при которых производная функции равна нулю: \(x = 0\) и \(x = 4\).

Обратите внимание, что эти значения \(x\) задают точки, где производная функции равна нулю. Они могут быть экстремумами (максимум или минимум) или точками перегиба функции, в зависимости от формы графика функции \(y = \frac{x-2}{x^2}\). Чтобы определить характер поведения функции в этих точках, нам необходимо дополнительное исследование функции.