Какова сумма площадей всех вписанных квадратов? Какую длину имеет сторона третьего квадрата по порядку? Какова площадь

Для решения этой задачи вспомним основные свойства вписанных квадратов.

Пусть у нас есть круг радиусом \( r \), в который вписаны квадраты. Мы знаем, что все стороны квадратов параллельны осям координат, поэтому все стороны квадратов также проходят через центр круга.

Давайте представим, что в круге вписан только один квадрат. Тогда его сторона будет равна диаметру круга. Таким образом, длина стороны первого квадрата будет \( 2r \).

Далее, представим, что мы добавляем внутри круга второй квадрат. Мы знаем, что сторона второго квадрата проходит через центр круга и перпендикулярна стороне первого квадрата. Тогда длина стороны второго квадрата будет равна диаметру круга минус длина стороны первого квадрата. То есть, сторона второго квадрата будет \( 2r - 2(2r) = 2r - 4r = -2r \).

Продолжая таким образом, мы можем определить стороны каждого последующего квадрата. Общая формула для нахождения длины стороны \( n \)-го квадрата будет:

\[ \text{сторона}_n = 2r - 2^n(2r) \]

Теперь, чтобы найти сумму площадей всех вписанных квадратов, мы можем сложить площади каждого квадрата. Формула для площади квадрата со стороной \( a \) задается выражением \( \text{площадь} = a^2 \). Таким образом, сумма площадей всех квадратов будет:

\[ \text{сумма площадей} = (2r)^2 + (-2r)^2 + (-2r + 2^2(2r))^2 + \ldots + (-2r + 2^n(2r))^2 \]

Теперь, чтобы найти ответы на вопросы задачи, нам нужно использовать числовые значения для радиуса \( r \) и порядкового номера \( n \) квадрата.

Например, если радиус круга \( r = 5 \) и мы хотим найти длину стороны третьего квадрата, мы подставляем \( n = 3 \) в формулу:

\[ \text{сторона}_3 = 2r - 2^3(2r) = 2 \cdot 5 - 2^3(2 \cdot 5) = 10 - 8 \cdot 10 = 10 - 80 = -70 \]

Таким образом, длина стороны третьего квадрата по порядку равна -70.

Чтобы найти площадь наибольшего квадрата, мы должны знать значение \( n \), которое определяет количество квадратов вписанных в круг.