Какова сумма площадей всех вписанных квадратов? Какая сторона имеет третий по порядку вписанный квадрат? Какова площадь

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать геометрические принципы. Давайте рассмотрим следующую ситуацию:

У нас имеется большой квадрат со стороной \( b_1 \), внутри которого вписаны другие квадраты. Площадь каждого вписанного квадрата составляет долю от площади предыдущего квадрата и равна \( q \) (где \( 0 < q < 1 \)).

Итак, у нас есть первый квадрат со стороной \( b_1 \). Площадь этого квадрата равна \( b_1^2 \).

Затем мы можем найти второй квадрат. Его сторона будет составлять \( b_2 = b_1 \cdot q \). Площадь второго квадрата будет равна \( b_2^2 = (b_1 \cdot q)^2 = b_1^2 \cdot q^2 \).

Аналогично, третий квадрат будет иметь сторону \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q \cdot q = b_1 \cdot q^2 \). Площадь третьего квадрата будет \( b_3^2 = (b_1 \cdot q^2)^2 = b_1^2 \cdot q^4 \).

Мы можем продолжить этот процесс и найти стороны \( b_4 \), \( b_5 \), и т.д. для каждого последующего квадрата. Мы видим, что сторона \( b_n \) для \( n \)-го квадрата равна \( b_1 \cdot q^{n-1} \), а его площадь будет \( b_n^2 = (b_1 \cdot q^{n-1})^2 = b_1^2 \cdot q^{2(n-1)} \).

Теперь давайте найдем сумму площадей всех вписанных квадратов. Мы знаем, что у нас есть бесконечно много таких квадратов, поэтому сумма будет представлять собой бесконечную геометрическую прогрессию. Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии выглядит так:

\[ \text{Сумма} = \frac{a}{1 - r} \]

Где \( a \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии, а знаменатель не должен равняться 1.

В нашем случае первый член прогрессии \( a = b_1 \), а знаменатель прогрессии \( r = q^2 \).

Следовательно, сумма площадей всех вписанных квадратов будет:

\[ \text{Сумма} = \frac{b_1}{1 - q^2} = \frac{b_1}{1 - q^2} \]

Теперь давайте определим сторону третьего квадрата. Мы уже указали, что сторона \( b_n \) для \( n \)-го квадрата равна \( b_1 \cdot q^{n-1} \). Таким образом, для третьего квадрата (\( n = 3 \)) сторона будет:

\[ b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 \]

Поэтому сторона третьего квадрата равна \( b_1 \cdot q^2 \).

Теперь давайте найдем площадь наибольшего квадрата. Заметим, что сумма площадей всех квадратов образует бесконечную геометрическую прогрессию, где каждое следующее слагаемое равно предыдущему слагаемому, умноженному на \( q^2 \). Исходя из этого, это значит, что наибольший квадрат с наибольшей площадью будет иметь сторону, равную \( b_1 \).

Таким образом, сторона наибольшего квадрата равна \( b_1 \).

Чтобы решить эту задачу, мы используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, а именно:

\[ \text{Сумма} = \frac{b_1}{1 - q^2} \]

Строка из предложенных формул, которую нужно использовать для решения этой задачи, - это строка \( \frac{b_1}{1 - q^2} \).