Как можно определить область определения функции y = 6/√(8 + 10x - 3x^2)?

Чтобы определить область определения функции $y=\frac{6}{\sqrt{8+10x-3x^2}}$, нам нужно учесть некоторые ограничения на значения переменных в этом выражении.

Первое ограничение возникает из знаменателя под корнем. Мы не можем брать квадратный корень из отрицательного числа или нуля, поэтому нам нужно установить условие, что выражение $8+10x-3x^2$ должно быть положительным.

Для этого найдем корни уравнения $8+10x-3x^2=0$.

$$8+10x-3x^2=0$$

Далее, приведем это квадратное уравнение к стандартному виду $a{x}^2+bx+c=0$.

Отсюда получаем:

$$-3x^2+10x+8=0$$

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться формулой дискриминанта, которая дает нам информацию о количестве и типе корней квадратного уравнения. Формула:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=-3$, $b=10$ и $c=8$.

Вычислим дискриминант:

$$D={10}^2-4\cdot (-3)\cdot 8=100+96=196$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных действительных корня.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{196}}{2\cdot (-3)}$$

$$x_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{-6}$$

$$x_1=\frac{-10+14}{-6}=-\frac{2}{-6}=\frac{1}{3}$$

$$x_2=\frac{-10-14}{-6}=-\frac{24}{-6}=4$$

Теперь у нас есть две точки, где знаменатель будет равен нулю: $x=\frac{1}{3}$ и $x=4$.

Однако, мы ищем область, где знаменатель положителен. Разложим выражение $8+10x-3x^2$ на множители, чтобы определить знак знаменателя для разных интервалов значений $x$.

$$8+10x-3x^2=(x-4)(3x-2)$$

Таким образом, знаменатель положительный, когда $(x-4)(3x-2)>0$.

Воспользуемся методом интервалов:

| интервал | значение $x-4$ | значение $3x-2$ | знак выражения |
|:--------------:|:----------------------------:|:---------------------------:|:------------------:|
| $(-\mathrm{\infty },1/3)$ | отрицательное ($-<4$) | отрицательное ($-<1$) | положительное (+) |
| $(1/3,4)$ | отрицательное ($-<4$) | положительное ($+>1$) | отрицательное (-) |
| $(4,+\mathrm{\infty })$ | положительное ($+>4$) | положительное ($+>1$) | положительное (+) |

Объединяя эти результаты, мы получаем, что область определения функции $y=\frac{6}{\sqrt{8+10x-3x^2}}$ - это интервал $(-\mathrm{\infty },1/3)\cup (1/3,4)$. В этом интервале знаменатель положителен и функция определена.

Пожалуйста, проверьте решение и если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.