Как можно определить область определения функции y = 6/√(8 + 10x - 3x^2)?

Чтобы определить область определения функции \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\), нам нужно учесть некоторые ограничения на значения переменных в этом выражении.

Первое ограничение возникает из знаменателя под корнем. Мы не можем брать квадратный корень из отрицательного числа или нуля, поэтому нам нужно установить условие, что выражение \(8 + 10x - 3x^2\) должно быть положительным.

Для этого найдем корни уравнения \(8 + 10x - 3x^2 = 0\).

\[8 + 10x - 3x^2 = 0\]

Далее, приведем это квадратное уравнение к стандартному виду \(ax^2 + bx + c = 0\).

Отсюда получаем:

\[-3x^2 + 10x + 8 = 0\]

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться формулой дискриминанта, которая дает нам информацию о количестве и типе корней квадратного уравнения. Формула:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = -3\), \(b = 10\) и \(c = 8\).

Вычислим дискриминант:

\[D = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 8 = 100 + 96 = 196\]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различных действительных корня.

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot (-3)}\]

\[x_{1,2} = \frac{-10 \pm 14}{-6}\]

\[x_1 = \frac{-10 + 14}{-6} = -\frac{2}{-6} = \frac{1}{3}\]

\[x_2 = \frac{-10 - 14}{-6} = -\frac{24}{-6} = 4\]

Теперь у нас есть две точки, где знаменатель будет равен нулю: \(x = \frac{1}{3}\) и \(x = 4\).

Однако, мы ищем область, где знаменатель положителен. Разложим выражение \(8 + 10x - 3x^2\) на множители, чтобы определить знак знаменателя для разных интервалов значений \(x\).

\[8 + 10x - 3x^2 = (x - 4)(3x - 2)\]

Таким образом, знаменатель положительный, когда \((x - 4)(3x - 2) > 0\).

Воспользуемся методом интервалов:

| интервал | значение \( x - 4 \) | значение \( 3x - 2 \) | знак выражения |
|:--------------:|:----------------------------:|:---------------------------:|:------------------:|
| \((-\infty, 1/3)\) | отрицательное (\( - < 4 \)) | отрицательное (\( - < 1 \)) | положительное (+) |
| \((1/3, 4)\) | отрицательное (\( - < 4 \)) | положительное (\( + > 1 \)) | отрицательное (-) |
| \((4, +\infty)\) | положительное (\( + > 4 \)) | положительное (\( + > 1 \)) | положительное (+) |

Объединяя эти результаты, мы получаем, что область определения функции \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\) - это интервал \((-\infty, 1/3) \cup (1/3, 4)\). В этом интервале знаменатель положителен и функция определена.

Пожалуйста, проверьте решение и если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.