Какова производная функции f(x) = ctg x + 2x в кубе-2x?

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать правило дифференцирования для функций суммы и произведения. Это правило называется правилом дифференцирования сложной функции (цепного правила).

Прежде чем начать, давайте разложим функцию \(f(x) = \ctg x + 2x\) в квадратные скобки и возведем это выражение в куб. Тогда получим:

\[f(x) = (\ctg x + 2x)^3\].

Теперь приступим к дифференцированию. Возьмем производную основной функции \(f(x)\), затем возьмем производную внутренней функции \(\ctg x + 2x\), и, наконец, возьмем производную самого внутреннего выражения \(\ctg x\).

1. Производная функции \(\ctg x\) равна \(-\csc^2 x\).

Теперь, применим правило дифференцирования сложной функции:

2. Производная внутренней функции \(\ctg x + 2x\) равна производной \(\ctg x\) по \(x\) плюс производная \(2x\) по \(x\).

Таким образом, получаем:

\[\frac{d}{dx} (\ctg x + 2x) = -\csc^2 x + 2\].

Теперь нужно применить правило дифференцирования сложной функции еще раз для выражения \((\ctg x + 2x)^3\).

3. Производная выражения \((\ctg x + 2x)^3\) равна производной внешней функции \((\ctg x + 2x)^3\) помноженной на производную внутренней функции \(\ctg x + 2x\).

Таким образом, получаем:

\[\frac{d}{dx} \left( (\ctg x + 2x)^3 \right) = 3(\ctg x + 2x)^2 \cdot (-\csc^2 x + 2)\].

Итак, производная функции \(f(x) = (\ctg x + 2x)^3 - 2x\) равна:

\[\frac{d}{dx} f(x) = 3(\ctg x + 2x)^2 \cdot (-\csc^2 x + 2) - 2\].

Это и есть ответ на ваш вопрос. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется еще раз пояснить какой-либо шаг, не стесняйтесь задавать вопросы.